Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} - \frac{1}{x}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{1}{x \sqrt{1} + x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x \sqrt{1} + x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x \sqrt{1} + x) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1}{x \sqrt{1} + x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{x \sqrt{1} + x}{x \sqrt{1} + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{(x \sqrt{1} + x) x} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(x \sqrt{1} + x) x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x (x \sqrt{1} + x)} - \frac{x \sqrt{1} + x}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x - (x \sqrt{1} + x)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Paso 2.1.2

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite de $x - (x \sqrt{1} + x)$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 - (0 \sqrt{1} + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Paso 2.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.2.1.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{0 - (0 \cdot 1 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Paso 2.1.2.2.1.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{0 - (0 + 0)}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Paso 2.1.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Paso 2.1.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Paso 2.1.2.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x (x \sqrt{1} + x)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + x}$

Paso 2.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (lim_{x \to 0} x \sqrt{1} + lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.3

Mueve el término $\sqrt{1}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.4.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{1} \cdot 0 + 0)}$

Paso 2.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.5.1.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 \cdot 0 + 0)}$

Paso 2.1.3.5.1.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (0 + 0)}$

Paso 2.1.3.5.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Paso 2.1.3.5.3

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.5.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x - (x \sqrt{1} + x)}{x (x \sqrt{1} + x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \sqrt{1} + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Paso 2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x \cdot 1 + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (x + x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Paso 2.3.3

Suma $x$ y $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Paso 2.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $x - (2 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Paso 2.3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (2 x)]$ .

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Paso 2.3.6.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Paso 2.3.6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Paso 2.3.6.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - 2}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Paso 2.3.7

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \sqrt{1} + x)]}$

Paso 2.3.8

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.8.1

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x \cdot 1 + x)]}$

Paso 2.3.8.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (x + x)]}$

Paso 2.3.9

Suma $x$ y $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x (2 x)]}$

Paso 2.3.10

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x)]}$

Paso 2.3.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 (x^{1} x^{1})]}$

Paso 2.3.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{1 + 1}]}$

Paso 2.3.13

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}]}$

Paso 2.3.14

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 (2 x)}$

Paso 2.3.16

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{4 x}$

Paso 3

Como la función se acerca a $\infty$ desde la izquierda pero a $- \infty$ desde la derecha, el límite no existe.

$No existe$