Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x \csc (2 x)}{\cos (5 x)}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Paso 1.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 3

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (2 x)$

Paso 4

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $x \csc (2 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ - 0.1 & 0.50334895 \\ - 0.01 & 0.50003333 \\ - 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

Paso 5

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0.5$ . Por lo tanto, el límite de $x \csc (2 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $0.5$ .

$0.5$

Paso 6

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (2 x)$

Paso 7

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $x \csc (2 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ 0.1 & 0.50334895 \\ 0.01 & 0.50003333 \\ 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

Paso 8

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0.5$ . Por lo tanto, el límite de $x \csc (2 x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $0.5$ .

$\frac{0.5}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Separa las fracciones.

$\frac{0.5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 9.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$ a $\sec (5 \cdot 0)$ .

$\frac{0.5}{1} \sec (5 \cdot 0)$

Paso 9.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

Paso 9.4

Cancela el factor común de $0.5$ .

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Paso 9.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

Paso 9.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sec (0)}{2}$

Paso 9.5

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$