Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x - \tan (x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.4.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Paso 1.1.2.4.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 - \tan (0)}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.4.1.1

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Paso 1.1.3.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 1.1.3.4.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x - \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Paso 1.3.4.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \tan (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Paso 1.3.7.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \tan (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Paso 1.3.7.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \sec^{2} (x)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Paso 2.1.2.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Paso 2.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Paso 2.1.3.1.3

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Paso 2.1.3.1.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (0)}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.3.1

Reordena $1$ y $- \sec^{2} (0)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (0) + 1}$

Paso 2.1.3.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \sec^{2} (0)$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (0)) + 1}$

Paso 2.1.3.3.3

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (0) - 1 \cdot - 1}$

Paso 2.1.3.3.4

Factoriza $- 1$ de $- \sec^{2} (0) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (0) - 1)}$

Paso 2.1.3.3.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{0}{- \tan^{2} (0)}$

Paso 2.1.3.3.6

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{- 0^{2}}$

Paso 2.1.3.3.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{- 0}$

Paso 2.1.3.3.8

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.3.9

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \sec^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Paso 2.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Paso 2.3.4.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Paso 2.3.4.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Paso 2.3.5

Suma $0$ y $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Paso 2.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - \sec^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

Paso 2.3.7

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

Paso 2.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

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Paso 2.3.8.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sec^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Paso 2.3.8.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sec (x)$ .

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Paso 2.3.8.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Paso 2.3.8.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Paso 2.3.8.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Paso 2.3.8.3

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))}$

Paso 2.3.8.4

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))}$

Paso 2.3.8.5

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))}$

Paso 2.3.8.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))}$

Paso 2.3.8.7

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}$

Paso 2.3.8.8

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Paso 2.3.9

Simplifica.

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Paso 2.3.9.1

Resta $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Paso 2.3.9.2

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x)}$

Paso 2.3.9.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

Paso 2.3.9.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

Paso 2.3.9.5

Combina $- 2$ y $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

Paso 2.3.9.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

Paso 2.3.9.7

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 2.3.9.8

Multiplica $- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Paso 2.3.9.8.1

Multiplica $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}$

Paso 2.3.9.8.2

Multiplica $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.9.8.2.1

Multiplica $\cos (x)$ por $\cos^{2} (x)$ .

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Paso 2.3.9.8.2.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}}$

Paso 2.3.9.8.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{{\cos (x)}^{1 + 2}}}$

Paso 2.3.9.8.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos^{3} (x)}}$

Paso 2.3.9.9

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \sin (x) (- \frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)})$

Paso 2.5

Combina $\sin (x)$ y $\frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) \cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$

Paso 2.6

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 2.6.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) \cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$

Paso 2.6.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} - \frac{\cos^{3} (x)}{2}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (x)}{2}$

Paso 3.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)$

Paso 3.3

Mueve el exponente $3$ de $\cos^{3} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$- \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}$

Paso 3.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (0)$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Paso 5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$