Cálculo Ejemplos

lim x \to 0 1 + {sin (4 x)}^{cot (x)}

$lim_{x \to 0} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Paso 1

Establece el límite como un límite izquierdo.

lim x \to 0^{-} 1 + {sin (4 x)}^{cot (x)}

$lim_{x \to 0^{-}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Paso 2

Evalúa los límites al insertar el valor para la variable.

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Paso 2.1

Evalúa el límite de

1 + {sin (4 x)}^{cot (x)}

$1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ mediante el ingreso de

0

$0$ para

x

$x$ .

1 + {sin (4 \cdot 0)}^{cot (0)}

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\cot (0)}$

Paso 2.2

Reescribe

cot (0)

$\cot (0)$ en términos de senos y cosenos.

1 + {sin (4 \cdot 0)}^{\frac{cos (0)}{sin (0)}}

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

Paso 2.3

El valor exacto de

$\sin (0)$ es

$0$ .

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$

Paso 2.4

Como

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$ es indefinida, el límite no existe.

$No existe$

Paso 3

Establece el límite como un límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Paso 4

Evalúa el límite derecho.

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Paso 4.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que

$x$ se aproxima a

$0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite de

$1$ que es constante cuando

$x$ se acerca a

$0$ .

$1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Paso 4.2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 4.2.1

Reescribe

${\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ como

$e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$ .

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$

Paso 4.2.2

Expande

$\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})$ ; para ello, mueve

$\cot (x)$ fuera del logaritmo.

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$

Paso 4.3

Como el exponente

$\cot (x) \ln (\sin (4 x))$ se acerca a

$- \infty$ , la cantidad

$e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$ se acerca a

$0$ .

$1 + 0$

Paso 4.4

Suma

$1$ y

$0$ .

$1$

Paso 5

Si ninguno de los límites unilaterales existe, el límite no existe.

$No existe$