Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (4 x)}{x}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (4 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Paso 2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} 4 x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Paso 3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sin (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{\sin (4 \frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\frac{π}{2}$ para $x$ .

$\frac{\sin (4 \frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\sin (4 \frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\sin (2 (2) \frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Paso 5.2.2

Cancela el factor común.

$\sin (2 \cdot 2 \frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Paso 5.2.3

Reescribe la expresión.

$\sin (2 π) \frac{2}{π}$

Paso 5.3

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\sin (0) \frac{2}{π}$

Paso 5.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$0 \frac{2}{π}$

Paso 5.5

Multiplica $0$ por $\frac{2}{π}$ .

$0$