Cálculo Ejemplos

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

\frac{lim_{x \to 0} \sin (x^{2})}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

\frac{\sin (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente

2

$2$ de

x^{2}

$x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de

x

$x$ mediante el ingreso de

0

$0$ para

x

$x$ .

\frac{\sin (0^{2})}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (0^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.2.3.2

El valor exacto de

\sin (0)

$\sin (0)$ es

0

$0$ .

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

\frac{0}{lim_{x \to 0} x}

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de

x

$x$ mediante el ingreso de

0

$0$ para

x

$x$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por

0

$0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

f (x) = \sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ y

g (x) = x^{2}

$g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

u

$u$ como

x^{2}

$x^{2}$ .

lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2.2

La derivada de

\sin (u)

$\sin (u)$ con respecto a

u

$u$ es

\cos (u)

$\cos (u)$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de

u

$u$ con

x^{2}

$x^{2}$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 2

$n = 2$ .

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.4

Reordena los factores de

\cos (x^{2}) (2 x)

$\cos (x^{2}) (2 x)$ .

lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d x} [x]}

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{1}$

lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{1}

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{1}$

Paso 1.4

Divide

2 x \cos (x^{2})

$2 x \cos (x^{2})$ por

1

$1$ .

lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{2})

$lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{2})$

lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{2})

$lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{2})$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término

2

$2$ fuera del límite porque es constante con respecto a

x

$x$ .

2 lim_{x \to 0} x \cos (x^{2})

$2 lim_{x \to 0} x \cos (x^{2})$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que

x

$x$ se aproxima a

0

$0$ .

2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{2})

$2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{2})$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x^{2})

$2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x^{2})$

Paso 2.4

Mueve el exponente

2

$2$ de

x^{2}

$x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})

$2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})

$2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de

0

$0$ para todos los casos de

x

$x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de

x

$x$ mediante el ingreso de

0

$0$ para

x

$x$ .

2 \cdot 0 \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})

$2 \cdot 0 \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Paso 3.2

Evalúa el límite de

x

$x$ mediante el ingreso de

0

$0$ para

x

$x$ .

2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{2})

$2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{2})$

2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{2})

$2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{2})$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica

2

$2$ por

0

$0$ .

0 \cdot \cos (0^{2})

$0 \cdot \cos (0^{2})$

Paso 4.2

Elevar

0

$0$ a cualquier potencia positiva da como resultado

0

$0$ .

0 \cdot \cos (0)

$0 \cdot \cos (0)$

Paso 4.3

El valor exacto de

\cos (0)

$\cos (0)$ es

1

$1$ .

0 \cdot 1

$0 \cdot 1$

Paso 4.4

Multiplica

0

$0$ por

1

$1$ .

0

$0$

0

$0$