Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sec (x)}{x}$

Paso 1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 1.1

Reescribe $\sec (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)}}{x}$

Paso 1.2

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

Paso 2

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.2.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

Paso 3.4

Divide $\sec^{2} (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

${(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Paso 4.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Paso 5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\sec^{2} (0)$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$1^{2}$

Paso 6.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1$