Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \sqrt{| x |} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{| x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Paso 1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\sqrt{lim_{x \to 0} | x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Paso 1.3

Mueve el límite dentro de los signos de valor absoluto.

$\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Paso 1.4

Mueve el límite dentro del exponente.

$\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}$

Paso 2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\sqrt{| 0 |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}$

Paso 3

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

Paso 4

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\sin (\frac{π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

Paso 5

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0$ . Por lo tanto, el límite de $\sin (\frac{π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $0$ .

$0$

Paso 6

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

Paso 7

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\sin (\frac{π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

Paso 8

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $0$ . Por lo tanto, el límite de $\sin (\frac{π}{x})$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $0$ .

$\sqrt{| 0 |} \cdot e^{0}$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$\sqrt{0} \cdot e^{0}$

Paso 9.2

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot e^{0}$

Paso 9.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0 \cdot e^{0}$

Paso 9.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 \cdot 1$

Paso 9.5

Multiplica $0$ por $1$ .

$0$