Cálculo Ejemplos

$f (x) = 8 \sqrt{x}$ , $x = 4$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Paso 1.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$y = 8 \sqrt{4}$

Paso 1.2

Simplifica $8 \sqrt{4}$ .

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 8 \sqrt{4}$

Paso 1.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = 8 \sqrt{2^{2}}$

Paso 1.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 8 \cdot 2$

Paso 1.2.4

Multiplica $8$ por $2$ .

$y = 16$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 16$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 2.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 2.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 2.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 2.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.10

Combina $8$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.12

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.13.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.14

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$\frac{4}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15

Simplifica.

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Paso 2.15.1

Mueve ${(4)}^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.15.2

Multiplica $4$ por $4^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.15.2.1

Multiplica $4$ por $4^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.15.2.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

Paso 2.15.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4^{1 - \frac{1}{2}}$

Paso 2.15.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$4^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 2.15.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$4^{\frac{2 - 1}{2}}$

Paso 2.15.2.4

Resta $1$ de $2$ .

$4^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.15.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.15.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.15.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.15.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.15.4.1

Cancela el factor común.

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 2.15.4.2

Reescribe la expresión.

$2^{1}$

Paso 2.15.5

Evalúa el exponente.

$2$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $2$ y un punto dado $(4, 16)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = 2 \cdot (x - (4))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $2 \cdot (x - 4)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 16 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 16 = 2 x + 2 \cdot - 4$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$y - 16 = 2 x - 8$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2 x - 8 + 16$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 8$ y $16$ .

$y = 2 x + 8$

Paso 4