Cálculo Ejemplos

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 3 + h)}^{2} - 9}{h}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 3 + h)}^{2} - 9}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} {(- 3 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de ${(- 3 + h)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{h \to 0} - 3 + h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$\frac{{(- lim_{h \to 0} 3 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 3 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 9}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 3 + lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{{(- 1 \cdot 3 + 0)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{{(- 3 + 0)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Suma $- 3$ y $0$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 3 + h)}^{2} - 9}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 3 + h)}^{2} - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(- 3 + h)}^{2} - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.2

Reescribe ${(- 3 + h)}^{2}$ como $(- 3 + h) (- 3 + h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(- 3 + h) (- 3 + h) - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3

Expande $(- 3 + h) (- 3 + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 3 (- 3 + h) + h (- 3 + h) - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 3 \cdot - 3 - 3 h + h (- 3 + h) - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [- 3 \cdot - 3 - 3 h + h \cdot - 3 + h \cdot h - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.1.1

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [9 - 3 h + h \cdot - 3 + h \cdot h - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [9 - 3 h - 3 \cdot h + h \cdot h - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.1.3

Multiplica $h$ por $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [9 - 3 h - 3 h + h^{2} - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.4.2

Resta $3 h$ de $- 3 h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [9 - 6 h + h^{2} - 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - 6 h + h^{2} - 9$ con respecto a $h$ es $\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [9] + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.6

Como $9$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $9$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d h} [- 6 h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d h} [- 6 h]$ .

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Paso 1.3.7.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 6 h$ con respecto a $h$ es $- 6 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.7.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 + \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 + 2 h + \frac{d}{d h} [- 9]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.9

Como $- 9$ es constante con respecto a $h$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $h$ es $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{0 - 6 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10

Simplifica.

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Paso 1.3.10.1

Combina los términos.

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Paso 1.3.10.1.1

Resta $6$ de $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 6 + 2 h + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10.1.2

Suma $- 6 + 2 h$ y $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- 6 + 2 h}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.10.2

Reordena los términos.

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 6}{\frac{d}{d h} [h]}$

Paso 1.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ es $n h^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{2 h - 6}{1}$

Paso 1.4

Divide $2 h - 6$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} 2 h - 6$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 6$

Paso 2.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $h$ .

$2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 6$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 6$

Paso 3

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$2 \cdot 0 - 1 \cdot 6$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 - 1 \cdot 6$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$0 - 6$

Paso 4.2

Resta $6$ de $0$ .

$- 6$