Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{2 x^{2}}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x^{2}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) - 1}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.5

Suma $- \sin (x)$ y $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{2 x}$

Paso 3

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{x}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 4.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.2.1.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{- lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{- \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{- \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.2.3.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{- 0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

Paso 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x)}{1}$

Paso 4.4

Divide $- \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \cos (x)$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \cos (x)$

Paso 5.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (lim_{x \to 0} x)$

Paso 6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (0)$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot - 1 \cos (0)$

Paso 7.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 1 \cos (0)$

Paso 7.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 1$ .

$\frac{- 1}{4} \cos (0)$

Paso 7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{4} \cos (0)$

Paso 7.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 1$

Paso 7.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$- 0.25$