Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - \sin (x)}{x \sin (x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.7.1.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\ln (1) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2.7.1.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2.7.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.2.7.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Paso 1.1.3.4

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.4.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Paso 1.1.3.4.2

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - \sin (x)}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (1 + x) - \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]$ .

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Paso 1.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 1 + x$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.3.5

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.3.6

Multiplica $\frac{1}{1 + x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.4.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.6

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Paso 1.3.8

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.1.2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 1 + x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.1.2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.1.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.1.2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{\frac{1}{1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.1.2.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\frac{1}{1 + lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.1.2.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\frac{1}{1 + 0} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.1.2.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\frac{1}{1 + 0} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.1.2.8

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.8.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.8.1.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\frac{1}{1} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.1.2.8.1.2

Divide $1$ por $1$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.1.2.8.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.1.2.8.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.1.2.8.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 2.1.3.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 2.1.3.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 2.1.3.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 2.1.3.5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Paso 2.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.6.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Paso 2.1.3.6.1.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{0}{0 + \sin (0)}$

Paso 2.1.3.6.1.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Paso 2.1.3.6.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.6.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{1 + x} - \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x}]$ .

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $\frac{1}{1 + x}$ como ${(1 + x)}^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 1 + x$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3.3.6

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3.4.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3.4.4

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Paso 2.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x \cos (x) + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.7.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.7.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.7.4

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 2.3.8

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) + \cos (x)}$

Paso 2.3.9

Simplifica.

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Paso 2.3.9.1

Suma $\cos (x)$ y $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + 2 \cos (x)}$

Paso 2.3.9.2

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{- \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \frac{1}{lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 3.5

Mueve el exponente $2$ de ${(1 + x)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{- \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 3.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 3.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 3.8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Paso 3.9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Paso 3.10

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Paso 3.11

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Paso 3.12

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 3.13

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(1 + 0)}^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Multiplica $\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$ por $\frac{{(1 + 0)}^{2}}{{(1 + 0)}^{2}}$ .

$\frac{{(1 + 0)}^{2}}{{(1 + 0)}^{2}} \cdot \frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Paso 5.1.2

Combinar.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} (- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0))}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0))}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} (- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}}) + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de ${(1 + 0)}^{2}$ .

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Paso 5.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}}$ al numerador.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} \frac{- 1}{{(1 + 0)}^{2}} + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} \frac{- 1}{{(1 + 0)}^{2}} + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Paso 5.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Paso 5.4

Simplifica el numerador.

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Paso 5.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- 1 + 1^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Paso 5.4.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- 1 + 1 \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Paso 5.4.3

Multiplica $\sin (0)$ por $1$ .

$\frac{- 1 + \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Paso 5.4.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{- 1 + 0}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Paso 5.4.5

Suma $- 1$ y $0$ .

$\frac{- 1}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Paso 5.5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- 1}{1^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Paso 5.5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- 1}{1 \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Paso 5.5.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{- 1}{0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Paso 5.5.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{- 1}{0 \cdot 0 + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Paso 5.5.5

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{- 1}{0 + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Paso 5.5.6

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- 1}{0 + 1^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Paso 5.5.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- 1}{0 + 1 \cdot 2 \cos (0)}$

Paso 5.5.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{- 1}{0 + 2 \cos (0)}$

Paso 5.5.9

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{- 1}{0 + 2 \cdot 1}$

Paso 5.5.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{- 1}{0 + 2}$

Paso 5.5.11

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{- 1}{2}$

Paso 5.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimal:

$- 0.5$