Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2}}{\cos (x) - 1}$

Paso 1

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\cos (x) - 1}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$6 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$6 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Paso 2.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 2.1.3.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$6 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 2.1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$6 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Paso 2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$6 \frac{0}{\cos (0) - 1 \cdot 1}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$6 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 2.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$6 \frac{0}{1 - 1}$

Paso 2.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$6 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$6 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$6 (\frac{0}{0})$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$6 (\frac{0}{0})$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\cos (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$6 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 2.3.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 2.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \sin (x) + 0}$

Paso 2.3.6

Suma $- \sin (x)$ y $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \sin (x)}$

Paso 3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{- \sin (x)}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$6 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.3.1.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{- lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Paso 4.1.3.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$6 \cdot 2 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{- \sin (0)}$

Paso 4.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.3.3.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{- 0}$

Paso 4.1.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Paso 4.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Paso 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{- \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Paso 4.3.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Paso 4.3.4

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \cos (x)}$

Paso 4.4

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 4.4.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{- 1 (- 1)}{- \cos (x)}$

Paso 4.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} - \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Paso 5.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Paso 5.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Paso 6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (0)}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Multiplica $6 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Paso 7.1.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$12 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (0)}$

Paso 7.1.2

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$- 12 \frac{1}{\cos (0)}$

Paso 7.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (0)}$ a $\sec (0)$ .

$- 12 \sec (0)$

Paso 7.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$- 12 \cdot 1$

Paso 7.4

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$- 12$