Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (2 x) - 12 x}{\sin (5 x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 \sin (2 x) - 12 x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{5 \sin (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.1.2.5

Mueve el término $12$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - 12 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{5 \sin (2 \cdot 0) - 12 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{5 \sin (2 \cdot 0) - 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.7.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{5 \sin (0) - 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.1.2.7.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.1.2.7.1.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0 - 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.1.2.7.1.4

Multiplica $- 12$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.1.2.7.2

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 \cdot 0)}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (2 x) - 12 x}{\sin (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \sin (2 x) - 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \sin (2 x) - 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 \sin (2 x) - 12 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 \sin (2 x)]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \sin (2 x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 1.3.3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 1.3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 1.3.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 1.3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 1.3.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 1.3.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 1.3.3.7

Multiplica $2$ por $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (2 x) - 12 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (2 x) - 12 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (2 x) - 12}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 1.3.5

Reordena los términos.

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Paso 1.3.6

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 1.3.6.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 1.3.6.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 1.3.6.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Paso 1.3.7

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}$

Paso 1.3.9

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (5 x) \cdot 5}$

Paso 1.3.10

Mueve $5$ a la izquierda de $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{5 \cos (5 x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{5}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (5 x)}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 12 + 10 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 12 + lim_{x \to 0} 10 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $12$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 1 \cdot 12 + lim_{x \to 0} 10 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 2.5

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 2.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 2.7

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Paso 2.8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Paso 2.9

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 4.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cdot 1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 4.1.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 4.1.4

Suma $- 12$ y $10$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 2}{\cos (5 \cdot 0)}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $5$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 2}{\cos (0)}$

Paso 4.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 2}{1}$

Paso 4.3

Divide $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot - 2$

Paso 4.4

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 2$ .

$\frac{- 2}{5}$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{5}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{2}{5}$

Forma decimal:

$- 0.4$