Cálculo Ejemplos

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ) - 1}{\sin (θ)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{θ \to 0} \cos (θ) - 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{θ \to 0} \cos (θ) - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ) - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $θ$ se acerca a $0$ .

$\frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ) - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 1.1.3.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ) - 1}{\sin (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (θ) - 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (θ) - 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (θ) - 1$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.3

La derivada de $\cos (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $θ$ es $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.5

Suma $- \sin (θ)$ y $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Paso 1.3.6

La derivada de $\sin (θ)$ con respecto a $θ$ es $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $θ$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{θ \to 0} - \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (θ)}$

Paso 2.2

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $θ$ .

$\frac{- lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (θ)}$

Paso 2.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{- \sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (θ)}$

Paso 2.4

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{- \sin (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $θ$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{- \sin (0)}{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $θ$ mediante el ingreso de $0$ para $θ$ .

$\frac{- \sin (0)}{\cos (0)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{- 0}{\cos (0)}$

Paso 4.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{- 0}{1}$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{1}$

Paso 4.4

Divide $0$ por $1$ .

$0$