Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} (x^{2}) \csc^{2} (x)$

Paso 1

Reescribe $(x^{2}) \csc^{2} (x)$ como $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Paso 2

Establece el límite como un límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Paso 3

Evalúa el límite izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 3.1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.1.2.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 3.1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 3.1.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 3.1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Paso 3.1.1.3.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.1.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 3.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 3.1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = \csc (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Paso 3.1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Paso 3.1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Paso 3.1.3.4

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Paso 3.1.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Paso 3.1.3.6

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Paso 3.1.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Paso 3.1.3.8

Resta $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Paso 3.1.3.9

Simplifica.

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Paso 3.1.3.9.1

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Paso 3.1.3.9.2

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Paso 3.1.3.9.3

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 3.1.3.9.4

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.9.4.1

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 3.1.3.9.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 3.1.3.9.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Paso 3.1.3.9.5

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

Paso 3.2

El límite de $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ a medida que $x$ se acerca a $0$ es $1$ .

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Paso 3.2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} 2 x}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

Paso 3.2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.2.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0^{-}} x}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

Paso 3.2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

Paso 3.2.1.2.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

Paso 3.2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.3.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{-}} 2 x)}$

Paso 3.2.1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0^{-}} x)}$

Paso 3.2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Paso 3.2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 3.2.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 3.2.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.2.2

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.2.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.2.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 3.2.3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.2.3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 3.2.3.5.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 3.2.3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 3.2.3.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 3.2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Paso 3.2.3.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Paso 3.2.3.9

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Paso 3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Paso 3.2.5

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \sec (2 x)$

Paso 3.2.6

Evalúa el límite.

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Paso 3.2.6.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\sec (lim_{x \to 0^{-}} 2 x)$

Paso 3.2.6.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sec (2 lim_{x \to 0^{-}} x)$

Paso 3.2.7

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\sec (2 \cdot 0)$

Paso 3.2.8

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.8.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\sec (0)$

Paso 3.2.8.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$1$

Paso 4

Establece el límite como un límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Paso 5

Evalúa el límite derecho.

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Paso 5.1

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 5.1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.2.1

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 5.1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 5.1.1.2.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Paso 5.1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Paso 5.1.1.3.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.1.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 5.1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 5.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Paso 5.1.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = \csc (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Paso 5.1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Paso 5.1.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Paso 5.1.3.4

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Paso 5.1.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Paso 5.1.3.6

Eleva $\csc (x)$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Paso 5.1.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Paso 5.1.3.8

Resta $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Paso 5.1.3.9

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.9.1

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Paso 5.1.3.9.2

Cambia el signo del exponente; para ello, reescribe la base como su recíproca.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Paso 5.1.3.9.3

Reescribe $\cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 5.1.3.9.4

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.3.9.4.1

Factoriza $\sin (x)$ de $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 5.1.3.9.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Paso 5.1.3.9.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Paso 5.1.3.9.5

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

Paso 5.2

El límite de $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ a medida que $x$ se acerca a $0$ es $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} 2 x}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Paso 5.2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.2.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Paso 5.2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Paso 5.2.1.2.3

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Paso 5.2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.3.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}$

Paso 5.2.1.3.1.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Paso 5.2.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Paso 5.2.1.3.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.3.3.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Paso 5.2.1.3.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 5.2.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.2.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 5.2.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.2.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.2.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Paso 5.2.3.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 5.2.3.5.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 5.2.3.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Paso 5.2.3.6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 5.2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Paso 5.2.3.8

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Paso 5.2.3.9

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Paso 5.2.4.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Paso 5.2.5

Convierte de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ a $\sec (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \sec (2 x)$

Paso 5.2.6

Evalúa el límite.

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Paso 5.2.6.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\sec (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)$

Paso 5.2.6.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sec (2 lim_{x \to 0^{+}} x)$

Paso 5.2.7

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\sec (2 \cdot 0)$

Paso 5.2.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.2.8.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\sec (0)$

Paso 5.2.8.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$1$

Paso 6

Como el límite izquierdo es igual al límite derecho, el límite es igual a $1$ .

$1$