Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x$

Paso 1

Escribe la integral como un límite a medida que $t$ se acerca a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

Paso 2

Sea $u = - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Deja $u = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Paso 2.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 t$

Paso 2.5

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

Paso 2.6

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 3.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u)$

Paso 6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

Paso 7

Combina $e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ y $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{2}$

Paso 8

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Evalúa $e^{u}$ en $- 2 t$ y en $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{2}$

Paso 8.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{2}$

Paso 8.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

Paso 9

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

Paso 9.1.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - 1$

Paso 9.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $t$ se aproxima a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 9.2

Como el exponente $- 2 t$ se acerca a $- \infty$ , la cantidad $e^{- 2 t}$ se acerca a $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Paso 9.3

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $t$ se acerca a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Paso 9.3.2

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Paso 9.3.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Paso 9.3.2.3

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Paso 9.3.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$