Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2 x - 1)}{x - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (2 x - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} 2 x - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\ln (2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{\ln (2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\ln (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\ln (2 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (2 - 1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.2.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (2 x - 1)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 2 x - 1$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.8

Suma $2$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2 x - 1} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.9

Combina $\frac{1}{2 x - 1}$ y $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Paso 1.3.10

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1 + 0}$

Paso 1.3.13

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 x - 1}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x - 1} \cdot 1$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{2}{2 x - 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x - 1}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 1} \frac{1}{2 x - 1}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 1} 2 x - 1}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 2.5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 \frac{1}{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$2 \frac{1}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$2 \frac{1}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \frac{1}{2 - 1 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{1}{2 - 1}$

Paso 4.1.3

Resta $1$ de $2$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{1}{1})$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 1$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$