Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x^{2})}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 1} x)}^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\ln (1^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.3.2

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x^{2})}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.4

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.5

Combina $\frac{2}{x^{2}}$ y $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.6

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.6.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.6.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.6.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x + 0}$

Paso 1.3.10

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Paso 1.5

Combina factores.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Multiplica $\frac{2}{x}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{x (2 x)}$

Paso 1.5.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 (x^{1} x)}$

Paso 1.5.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 (x^{1} x^{1})}$

Paso 1.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{1 + 1}}$

Paso 1.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{2}}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{2}}$

Paso 1.6.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x^{2}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Paso 2.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Paso 2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{1^{2}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{1}$

Paso 4.2

Divide $1$ por $1$ .

$1$