Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Paso 1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Paso 1.2

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Paso 2

Como $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ y $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , aplica el teorema de la compresión.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\tan (4 x)}$

Paso 3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)}$

Paso 4

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

Paso 4.1.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (4 x)}$

Paso 4.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 4.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 4.1.3.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la tangente es continua.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Paso 4.1.3.1.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 4.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (4 \cdot 0)}$

Paso 4.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1.3.3.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \frac{0}{\tan (0)}$

Paso 4.1.3.3.2

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Paso 4.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Paso 4.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Paso 4.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{0}{0})$

Paso 4.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (4 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Paso 4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (4 x)]}$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 4.3.3.2

La derivada de $\tan (u)$ con respecto a $u$ es $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]}$

Paso 4.3.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 4.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4 \cdot 1}$

Paso 4.3.6

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x) \cdot 4}$

Paso 4.3.7

Mueve $4$ a la izquierda de $\sec^{2} (4 x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \sec^{2} (4 x)}$

Paso 5

Evalúa el límite.

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Paso 5.1

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (4 x)}$

Paso 5.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (4 x)}$

Paso 5.4

Mueve el exponente $2$ de $\sec^{2} (4 x)$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (4 x))}^{2}}$

Paso 5.5

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque la secante es continua.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 4 x)}$

Paso 5.6

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 lim_{x \to 0} x)}$

Paso 6

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Paso 7

Simplifica la respuesta.

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Paso 7.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Paso 7.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} + 2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Paso 7.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Paso 7.1.3

Combinar.

$\frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Paso 7.1.4

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (4 \cdot 0)}$

Paso 7.1.5

Simplifica el denominador.

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Paso 7.1.5.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \sec^{2} (0)}$

Paso 7.1.5.2

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}$

Paso 7.1.5.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 7.1.6

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Paso 7.2

Para escribir $\frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 7.3

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 7.4.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.4.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 7.4.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Paso 7.4.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Paso 7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 + 3}{6}$

Paso 7.6

Suma $2$ y $3$ .

$\frac{5}{6}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{6}$

Forma decimal:

$0.8\overline{3}$