Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{1 - x}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Paso 1.1.2.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - x}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 1} x}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{1 - x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Paso 1.3.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 - x]}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- x]}$

Paso 1.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.3.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 1.3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{0 - 1}$

Paso 1.3.6

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{- 1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 1}$

Paso 1.5

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{- 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x \cdot - 1}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $1$ y $- 1$ .

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Paso 1.6.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 (- 1)}{x \cdot - 1}$

Paso 1.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 1} - \frac{1}{x}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$- \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$- \frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$- \frac{1}{1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{1}$

Paso 4.1.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1$

Paso 4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$