Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x)}{\sin (x)}$

Paso 1

Aplica las identidades trigonométricas.

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Paso 1.1

Reescribe $\tan (2 x)$ en términos de senos y cosenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (x)}$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (x)}$ como un producto.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Convierte de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ a $\tan (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (2 x) \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 1.3.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (2 x) \csc (x)$

Paso 2

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (2 x) \csc (x)$

Paso 3

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\tan (2 x) \csc (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \csc (x) \\ - 0.1 & 2.0304828 \\ - 0.01 & 2.00030004 \\ - 0.001 & 2.000003 \end{array}$

Paso 4

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $2$ . Por lo tanto, el límite de $\tan (2 x) \csc (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $2$ .

$2$

Paso 5

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (2 x) \csc (x)$

Paso 6

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\tan (2 x) \csc (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \csc (x) \\ 0.1 & 2.0304828 \\ 0.01 & 2.00030004 \\ 0.001 & 2.000003 \end{array}$

Paso 7

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $2$ . Por lo tanto, el límite de $\tan (2 x) \csc (x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $2$ .

$2$