Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2} \frac{x^{4} - 3 x^{2} - 4}{x - 2}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} - lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el exponente $4$ de $x^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2^{4} - 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2^{4} - 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.7.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{16 - 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.7.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16 - 3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.7.1.3

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{16 - 12 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{16 - 12 - 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.7.2

Resta $12$ de $16$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.7.3

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{4} - 3 x^{2} - 4}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 3 x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} - 6 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.6

Suma $4 x^{3} - 6 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} - 6 x}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} - 6 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} - 6 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 1.3.9

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} - 6 x}{1 + 0}$

Paso 1.3.10

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} - 6 x}{1}$

Paso 1.4

Divide $4 x^{3} - 6 x$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} 4 x^{3} - 6 x$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$lim_{x \to 2} 4 x^{3} - lim_{x \to 2} 6 x$

Paso 2.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 6 x$

Paso 2.3

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 6 x$

Paso 2.4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 6 lim_{x \to 2} x$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$4 \cdot 2^{3} - 6 lim_{x \to 2} x$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$4 \cdot 8 - 6 \cdot 2$

Paso 4.1.2

Multiplica $4$ por $8$ .

$32 - 6 \cdot 2$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$32 - 12$

Paso 4.2

Resta $12$ de $32$ .

$20$