Cálculo Ejemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica infinita se puede obtener mediante la fórmula $\frac{a}{1 - r}$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{n}$ y $a_{n + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de ${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ y ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ de ${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Paso 2.2.1.2.4

Divide ${(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Paso 2.2.2

Suma $n$ y $0$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

Paso 2.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

Paso 2.2.4

Resta $n$ de $n$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Paso 2.2.5

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{1}$

Paso 2.2.6

Simplifica.

$r = - \frac{1}{3}$

Paso 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Paso 4

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $n$ en ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{0}$

Paso 4.2.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} {(\frac{1}{3})}^{0}$

Paso 4.2.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Paso 4.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 1 \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Paso 4.2.4

Multiplica $\frac{1^{0}}{3^{0}}$ por $1$ .

$a = \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Paso 4.2.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = \frac{1}{3^{0}}$

Paso 4.2.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Paso 4.2.7

Divide $1$ por $1$ .

$a = 1$

Paso 5

Sustituye los valores de la razón y el primer término en la fórmula de suma.

$\frac{1}{1 - - \frac{1}{3}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 6.1.1

Multiplica $- - \frac{1}{3}$ .

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Paso 6.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{3})}$

Paso 6.1.1.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Paso 6.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Paso 6.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

Paso 6.1.4

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Paso 6.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{3}{4})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{3}{4}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{4}$

Forma decimal:

$0.75$