Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a} - 1}{x^{b} - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{a} - 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{a} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente $a$ de $x^{a}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{a} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{a} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1^{a} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{b} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el exponente $b$ de $x^{b}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{b} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{b} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1^{b} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a} - 1}{x^{b} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{a} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{a}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = a$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Paso 1.3.5

Simplifica.

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Paso 1.3.5.1

Suma $a x^{a - 1}$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Paso 1.3.5.2

Reordena los factores de $a x^{a - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a - 1} a}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Paso 1.3.5.3

Reordena los factores en $x^{a - 1} a$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{b} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{b}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = b$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1} + 0}$

Paso 1.3.9

Simplifica.

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Paso 1.3.9.1

Suma $b x^{b - 1}$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1}}$

Paso 1.3.9.2

Reordena los factores de $b x^{b - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{x^{b - 1} b}$

Paso 1.3.9.3

Reordena los factores en $x^{b - 1} b$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1}}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x^{a - 1}$ y $x^{b - 1}$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $x^{b - 1}$ de $a x^{a - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{b x^{b - 1}}$

Paso 1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $x^{b - 1}$ de $b x^{b - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{x^{b - 1} b}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{x^{b - 1} b}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1 - (b - 1)}}{b}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{a}{b}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{a}{b} lim_{x \to 1} x^{a - 1 - (b - 1)}$

Paso 2.2

Mueve el exponente $a - 1 - (b - 1)$ de $x^{a - 1 - (b - 1)}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{a}{b} {(lim_{x \to 1} x)}^{a - 1 - (b - 1)}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - (b - 1)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - b - - 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - b + 1}$

Paso 4.2

Combina los términos opuestos en $a - 1 - b + 1$ .

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Paso 4.2.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - b + 0}$

Paso 4.2.2

Suma $a - b$ y $0$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - b}$

Paso 4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{a}{b} \cdot 1$

Paso 4.4

Multiplica $\frac{a}{b}$ por $1$ .

$\frac{a}{b}$