Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (3 π x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x + \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Paso 1.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.5.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Paso 1.1.2.5.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Paso 1.1.2.5.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \cos (3 π x)}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{1 + lim_{x \to 1} \cos (3 π x)}$

Paso 1.1.3.1.3

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{0}{1 + \cos (lim_{x \to 1} 3 π x)}$

Paso 1.1.3.1.4

Mueve el término $3 π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (3 π \cdot 1)}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{0}{1 + \cos (3 π)}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{0}{1 + \cos (π)}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Paso 1.1.3.3.1.4

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (3 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x + \ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Paso 1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Paso 1.3.5

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Paso 1.3.6

Simplifica.

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Paso 1.3.6.1

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Paso 1.3.6.2

Reordena los términos.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \cos (3 π x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (3 π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (3 π x)]}$

Paso 1.3.8

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (3 π x)]}$

Paso 1.3.9

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (3 π x)]$ .

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Paso 1.3.9.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 3 π x$ .

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Paso 1.3.9.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 π x]}$

Paso 1.3.9.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [3 π x]}$

Paso 1.3.9.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [3 π x]}$

Paso 1.3.9.2

Como $3 π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 π x$ con respecto a $x$ es $3 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (3 π x) (3 π \frac{d}{d x} [x])}$

Paso 1.3.9.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (3 π x) (3 π \cdot 1)}$

Paso 1.3.9.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (3 π x) (3 π)}$

Paso 1.3.9.5

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - 3 \sin (3 π x) π}$

Paso 1.3.10

Simplifica.

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Paso 1.3.10.1

Resta $3 \sin (3 π x) π$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 3 \sin (3 π x) π}$

Paso 1.3.10.2

Reordena los factores de $- 3 \sin (3 π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 3 π \sin (3 π x)}$

Paso 1.4

Combina los términos.

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Paso 1.4.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}{- 3 π \sin (3 π x)}$

Paso 1.4.2

Combina $- 1$ y $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}{- 3 π \sin (3 π x)}$

Paso 1.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{- 3 π \sin (3 π x)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{- 3 π}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{\sin (3 π x)}$

Paso 2.2

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1}{\sin (3 π x)}$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{1 - x}{x}$ por $\frac{1}{\sin (3 π x)}$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (3 π x)}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - x}{lim_{x \to 1} x \sin (3 π x)}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (3 π x)}$

Paso 3.1.2.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (3 π x)}$

Paso 3.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.2.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x \sin (3 π x)}$

Paso 3.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \sin (3 π x)}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Paso 3.1.3.2

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (lim_{x \to 1} 3 π x)}$

Paso 3.1.3.3

Mueve el término $3 π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Paso 3.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Paso 3.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (3 π \cdot 1)}$

Paso 3.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.5.1

Multiplica $\sin (3 π \cdot 1)$ por $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{\sin (3 π \cdot 1)}$

Paso 3.1.3.5.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{\sin (3 π)}$

Paso 3.1.3.5.3

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{\sin (π)}$

Paso 3.1.3.5.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Paso 3.1.3.5.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.5.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (3 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Paso 3.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Paso 3.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 3.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Paso 3.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Paso 3.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Paso 3.3.5

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Paso 3.3.6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (3 π x)$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d x} [\sin (3 π x)] + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 π x$ .

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Paso 3.3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 π x$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 π x] + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.7.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (u) \frac{d}{d x} [3 π x] + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 π x$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (3 π x) \frac{d}{d x} [3 π x] + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.8

Como $3 π$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 π x$ con respecto a $x$ es $3 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (3 π x) \cdot 3 π \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (3 π x) \cdot 3 π \cdot 1 + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.10

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (3 π x) \cdot 3 π + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.11

Mueve $3$ a la izquierda de $\cos (3 π x)$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 3 \cdot \cos (3 π x) π + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 3 \cos (3 π x) π + \sin (3 π x) \cdot 1}$

Paso 3.3.13

Multiplica $\sin (3 π x)$ por $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 3 \cos (3 π x) π + \sin (3 π x)}$

Paso 3.3.14

Reordena los términos.

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{3 π x \cos (3 π x) + \sin (3 π x)}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} - 1}{lim_{x \to 1} 3 π x \cos (3 π x) + \sin (3 π x)}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $- 1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 3 π x \cos (3 π x) + \sin (3 π x)}$

Paso 4.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 3 π x \cos (3 π x) + lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Paso 4.4

Mueve el término $3 π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cos (3 π x) + lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Paso 4.5

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (3 π x) + lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Paso 4.6

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 3 π x) + lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Paso 4.7

Mueve el término $3 π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (3 π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Paso 4.8

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (3 π lim_{x \to 1} x) + \sin (lim_{x \to 1} 3 π x)}$

Paso 4.9

Mueve el término $3 π$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (3 π lim_{x \to 1} x) + \sin (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot 1 \cdot \cos (3 π lim_{x \to 1} x) + \sin (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot 1 \cdot \cos (3 π \cdot 1) + \sin (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Paso 5.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot 1 \cdot \cos (3 π \cdot 1) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot 1 \cdot \cos (3 π \cdot 1) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot \cos (3 π \cdot 1) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot \cos (3 π) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Paso 6.2.3

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot \cos (π) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Paso 6.2.4

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot (- \cos (0)) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Paso 6.2.5

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot (- 1 \cdot 1) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Paso 6.2.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot - 1 + \sin (3 π \cdot 1)}$

Paso 6.2.7

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π + \sin (3 π \cdot 1)}$

Paso 6.2.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π + \sin (3 π)}$

Paso 6.2.9

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π + \sin (π)}$

Paso 6.2.10

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π + \sin (0)}$

Paso 6.2.11

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π + 0}$

Paso 6.2.12

Suma $- 3 π$ y $0$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π}$

Paso 6.3

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{1}{3 π}$

Paso 6.4

Multiplica $- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{1}{3 π}$ .

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Paso 6.4.1

Multiplica $\frac{1}{3 π}$ por $\frac{1}{3 π}$ .

$- \frac{1}{3 π (3 π)}$

Paso 6.4.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{1}{9 π π}$

Paso 6.4.3

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{9 (π^{1} π)}$

Paso 6.4.4

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{1}{9 (π^{1} π^{1})}$

Paso 6.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{1}{9 π^{1 + 1}}$

Paso 6.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{1}{9 π^{2}}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{9 π^{2}}$

Forma decimal:

$- 0.01125790 \dots$