Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{\ln (x)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.3.1

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x)}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Paso 1.1.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{\ln (x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.5

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Paso 1.3.6

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{1}{x}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 1} - x$

Paso 2

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 1} x$

Paso 2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$- 1$