Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{5^{x}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Paso 1.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Paso 1.1.3

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $5^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\infty}{\infty}$

Paso 1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{5^{x} \ln (5)}$

Paso 2

Mueve el término $\frac{5}{\ln (5)}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{5^{x}}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Paso 3.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Paso 3.1.3

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $5^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Paso 3.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Paso 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{5^{x} \ln (5)}$

Paso 4

Mueve el término $\frac{4}{\ln (5)}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{5^{x}}$

Paso 5

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 5.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 5.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Paso 5.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Paso 5.1.3

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $5^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Paso 5.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Paso 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Paso 5.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 5.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Paso 5.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Paso 5.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{5^{x} \ln (5)}$

Paso 6

Mueve el término $\frac{3}{\ln (5)}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{5^{x}}$

Paso 7

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 7.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 7.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Paso 7.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Paso 7.1.3

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $5^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Paso 7.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Paso 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Paso 7.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 7.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Paso 7.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Paso 7.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{5^{x} \ln (5)}$

Paso 8

Mueve el término $\frac{2}{\ln (5)}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{5^{x}}$

Paso 9

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 9.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 9.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Paso 9.1.2

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Paso 9.1.3

Como el exponente $x$ se acerca a $\infty$ , la cantidad $5^{x}$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Paso 9.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Paso 9.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Paso 9.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 9.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Paso 9.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Paso 9.3.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{5^{x} \ln (5)}$

Paso 10

Mueve el término $\frac{1}{\ln (5)}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{5^{x}}$

Paso 11

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{5^{x}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Multiplica $\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)}$ .

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Paso 12.1.1

Multiplica $\frac{5}{\ln (5)}$ por $\frac{4}{\ln (5)}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{\ln (5) \ln (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.1.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$\frac{20}{\ln (5) \ln (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.1.3

Eleva $\ln (5)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{20}{\ln^{1} (5) \ln (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.1.4

Eleva $\ln (5)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{20}{\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.1.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{20}{{\ln (5)}^{1 + 1}} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.1.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{20}{\ln^{2} (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.2

Combinar.

$\frac{20 \cdot 3}{\ln^{2} (5) \ln (5)} \cdot \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.3

Combinar.

$\frac{20 \cdot 3 \cdot 2}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.4

Combinar.

$\frac{20 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.5

Simplifica el numerador.

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Paso 12.5.1

Multiplica $20$ por $3$ .

$\frac{60 \cdot 2 \cdot 1}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.5.2

Multiplica $60$ por $2$ .

$\frac{120 \cdot 1}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.5.3

Multiplica $120$ por $1$ .

$\frac{120}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.6

Simplifica el denominador.

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Paso 12.6.1

Eleva $\ln (5)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{120}{\ln^{2} (5) \ln^{1} (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.6.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{120}{{\ln (5)}^{2 + 1} \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.6.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{120}{\ln^{3} (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.6.4

Eleva $\ln (5)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{120}{\ln^{3} (5) \ln^{1} (5) \ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.6.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{120}{{\ln (5)}^{3 + 1} \ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.6.6

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{120}{\ln^{4} (5) \ln (5)} \cdot 0$

Paso 12.6.7

Multiplica $\ln^{4} (5)$ por $\ln (5)$ sumando los exponentes.

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Paso 12.6.7.1

Multiplica $\ln^{4} (5)$ por $\ln (5)$ .

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Paso 12.6.7.1.1

Eleva $\ln (5)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{120}{\ln^{4} (5) \ln^{1} (5)} \cdot 0$

Paso 12.6.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{120}{{\ln (5)}^{4 + 1}} \cdot 0$

Paso 12.6.7.2

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{120}{\ln^{5} (5)} \cdot 0$

Paso 12.7

Multiplica $\frac{120}{\ln^{5} (5)}$ por $0$ .

$0$