Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{{(8 x - 4)}^{2} - 16}{4 x - 4}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} {(8 x - 4)}^{2} - 16}{lim_{x \to 1} 4 x - 4}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} {(8 x - 4)}^{2} - lim_{x \to 1} 16}{lim_{x \to 1} 4 x - 4}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de ${(8 x - 4)}^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} 8 x - 4)}^{2} - lim_{x \to 1} 16}{lim_{x \to 1} 4 x - 4}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} 8 x - lim_{x \to 1} 4)}^{2} - lim_{x \to 1} 16}{lim_{x \to 1} 4 x - 4}$

Paso 1.1.2.1.4

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(8 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 4)}^{2} - lim_{x \to 1} 16}{lim_{x \to 1} 4 x - 4}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{{(8 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 4)}^{2} - lim_{x \to 1} 16}{lim_{x \to 1} 4 x - 4}$

Paso 1.1.2.1.6

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{{(8 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 1} 4 x - 4}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{{(8 \cdot 1 - 1 \cdot 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 1} 4 x - 4}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1.1

Multiplica $8$ por $1$ .

$\frac{{(8 - 1 \cdot 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 1} 4 x - 4}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{{(8 - 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 1} 4 x - 4}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Resta $4$ de $8$ .

$\frac{4^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 1} 4 x - 4}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 1} 4 x - 4}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 1} 4 x - 4}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $16$ de $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 x - 4}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 x - lim_{x \to 1} 4}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 4}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 1 - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{{(8 x - 4)}^{2} - 16}{4 x - 4} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(8 x - 4)}^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(8 x - 4)}^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.2

Reescribe ${(8 x - 4)}^{2}$ como $(8 x - 4) (8 x - 4)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(8 x - 4) (8 x - 4) - 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.3

Expande $(8 x - 4) (8 x - 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [8 x (8 x - 4) - 4 (8 x - 4) - 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [8 x (8 x) + 8 x \cdot - 4 - 4 (8 x - 4) - 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [8 x (8 x) + 8 x \cdot - 4 - 4 (8 x) - 4 \cdot - 4 - 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x \cdot - 4 - 4 (8 x) - 4 \cdot - 4 - 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [8 \cdot 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot - 4 - 4 (8 x) - 4 \cdot - 4 - 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [8 \cdot 8 x^{2} + 8 x \cdot - 4 - 4 (8 x) - 4 \cdot - 4 - 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.4.1.3

Multiplica $8$ por $8$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [64 x^{2} + 8 x \cdot - 4 - 4 (8 x) - 4 \cdot - 4 - 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.4.1.4

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [64 x^{2} - 32 x - 4 (8 x) - 4 \cdot - 4 - 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.4.1.5

Multiplica $8$ por $- 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [64 x^{2} - 32 x - 32 x - 4 \cdot - 4 - 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.4.1.6

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [64 x^{2} - 32 x - 32 x + 16 - 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.4.2

Resta $32 x$ de $- 32 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [64 x^{2} - 64 x + 16 - 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $64 x^{2} - 64 x + 16 - 16$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x] + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x] + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.6.1

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64 x^{2}$ con respecto a $x$ es $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x] + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{64 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x] + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.6.3

Multiplica $2$ por $64$ .

$lim_{x \to 1} \frac{128 x + \frac{d}{d x} [- 64 x] + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

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Paso 1.3.7.1

Como $- 64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 64 x$ con respecto a $x$ es $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{128 x - 64 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{128 x - 64 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.7.3

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{128 x - 64 + \frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.8

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{128 x - 64 + 0 + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.9

Como $- 16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{128 x - 64 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.10

Combina los términos.

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Paso 1.3.10.1

Suma $128 x - 64$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{128 x - 64 + 0}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.10.2

Suma $128 x - 64$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{128 x - 64}{\frac{d}{d x} [4 x - 4]}$

Paso 1.3.11

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{128 x - 64}{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.12

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.3.12.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{128 x - 64}{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.12.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{128 x - 64}{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.12.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{128 x - 64}{4 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.13

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{128 x - 64}{4 + 0}$

Paso 1.3.14

Suma $4$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{128 x - 64}{4}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $128 x - 64$ y $4$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $4$ de $128 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (32 x) - 64}{4}$

Paso 1.4.2

Factoriza $4$ de $- 64$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (32 x) + 4 \cdot - 16}{4}$

Paso 1.4.3

Factoriza $4$ de $4 (32 x) + 4 (- 16)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (32 x - 16)}{4}$

Paso 1.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.4.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (32 x - 16)}{4 (1)}$

Paso 1.4.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{4 (32 x - 16)}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{32 x - 16}{1}$

Paso 1.4.4.4

Divide $32 x - 16$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} 32 x - 16$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$lim_{x \to 1} 32 x - lim_{x \to 1} 16$

Paso 2.2

Mueve el término $32$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$32 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 16$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$32 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 16$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$32 \cdot 1 - 1 \cdot 16$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $32$ por $1$ .

$32 - 1 \cdot 16$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$32 - 16$

Paso 4.2

Resta $16$ de $32$ .

$16$