Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} {(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})}$ como $e^{\ln ({(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})})}$ .

$lim_{x \to 1} e^{\ln ({(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(2 - x)}^{\tan (\frac{π x}{2})})$ ; para ello, mueve $\tan (\frac{π x}{2})$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 1} e^{\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 1} \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)}$

Paso 3

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 1^{-}} \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$

Paso 4

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$ a medida que $x$ se acerca a $1$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x) \\ 0.9 & 0.60176479 \\ 0.99 & 0.63340563 \\ 0.999 & 0.63630115 \\ 0.9999 & 0.63658793 \\ 0.99999 & 0.63661658 \end{array}$

Paso 5

A medida que los valores de $x$ se acercan a $1$ , los valores de la función se acercan a $0.637$ . Por lo tanto, el límite de $\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$ a medida que $x$ se acerca a $1$ desde la izquierda es $0.637$ .

$0.637$

Paso 6

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 1^{+}} \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$

Paso 7

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x)$ a medida que $x$ se acerca a $1$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \tan (\frac{π x}{2}) \ln (2 - x) \\ 1.1 & 0.66522011 \\ 1.01 & 0.63977162 \\ 1.001 & 0.63693777 \\ 1.0001 & 0.6366516 \end{array}$

Paso 8

$e^{0.637}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e^{0.637}$

Forma decimal:

$1.89079996 \dots$