Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{5}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{5}{x}$

Paso 1

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Para escribir $- \frac{5}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{5}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$

Paso 1.2

Multiplica $\frac{5}{x}$ por $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{5 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}}$

Paso 1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 - 5 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 - lim_{x \to 0} 5 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.1.2

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 - lim_{x \to 0} 5 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.1.3

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5 - 5 lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.1.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{5 - 5 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.1.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{5 - 5 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.1.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{5 - 5 \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{5 - 5 \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.1.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{5 - 5 \sqrt{1}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{5 - 5 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.1.3.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x}}$

Paso 2.1.3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}}$

Paso 2.1.3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}$

Paso 2.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}$

Paso 2.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + 0}}$

Paso 2.1.3.6

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.3.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1}}$

Paso 2.1.3.6.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Paso 2.1.3.6.3

Multiplica $0$ por $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.6.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 - 5 \sqrt{1 + x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{1 + x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{1 + x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x}$ como ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.2

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.7

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.8

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.10

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.10.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.12

Suma $0$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.13

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.14

Multiplica $\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 \frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.15

Mueve ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.16

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{- 5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.4.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.5

Resta $\frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Paso 2.3.6

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{1 + x}$ como ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 1 + x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.8.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.8.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.10

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.12

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.12.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.12.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.14

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.15

Mueve ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.16

Combina $\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.17

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.18

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.19

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.20

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.21

Multiplica $\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.22

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Paso 2.3.23

Multiplica ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.3.24

Para escribir ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.25

Combina ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.26

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.27

Multiplica ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.27.1

Mueve ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.27.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.27.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.27.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.27.5

Divide $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{1} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.28

Simplifica ${(1 + x)}^{1} \cdot 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + (1 + x) \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.29

Mueve $2$ a la izquierda de $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 \cdot (1 + x)}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.30

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.30.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 \cdot 1 + 2 x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.30.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.30.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 + 2 x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.3.30.2.2

Suma $x$ y $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x + 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} - \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 2}$

Paso 2.5

Convierte los exponentes fraccionarios en radicales.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Reescribe ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{5}{2 \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 2}$

Paso 2.5.2

Reescribe ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{5}{2 \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{2 \sqrt{1 + x}}{3 x + 2}$

Paso 2.6

Combina factores.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.6.1

Multiplica $\frac{2 \sqrt{1 + x}}{3 x + 2}$ por $\frac{5}{2 \sqrt{1 + x}}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 \sqrt{1 + x} \cdot 5}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

Paso 2.6.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{10 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

Paso 2.7

Reduce.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1

Cancela el factor común de $10$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1.1

Factoriza $2$ de $10 \sqrt{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + x})}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

Paso 2.7.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.1.2.1

Factoriza $2$ de $(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + x})}{2 ((3 x + 2) (\sqrt{1 + x}))}$

Paso 2.7.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + x})}{2 ((3 x + 2) (\sqrt{1 + x}))}$

Paso 2.7.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} - \frac{5 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) (\sqrt{1 + x})}$

Paso 2.7.2

Cancela el factor común de $\sqrt{1 + x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.7.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} - \frac{5 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) \sqrt{1 + x}}$

Paso 2.7.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} - \frac{5}{3 x + 2}$

Paso 3

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{5}{3 x + 2}$

Paso 3.2

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 5 lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x + 2}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x + 2}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to 0} 3 x + 2}$

Paso 3.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 3.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- 5 \frac{1}{3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Paso 3.7

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$- 5 \frac{1}{3 lim_{x \to 0} x + 2}$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$- 5 \frac{1}{3 \cdot 0 + 2}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$- 5 \frac{1}{0 + 2}$

Paso 5.1.2

Suma $0$ y $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Paso 5.2

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Paso 5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{5}{2}$

Forma decimal:

$- 2.5$