Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} d x$

Paso 1

Sea $x = 3 \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $9$ de $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $9$ de $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $9 \tan^{2} (t)$ como ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $3 \sec (t)$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $3 \sec (t)$ de $3 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.3

Reescribe la expresión.

$\int 3 \tan (t) \tan (t) d t$

Paso 3

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 3 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Paso 4

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 3 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Paso 5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 3 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 6

Suma $1$ y $1$ .

$\int 3 \tan^{2} (t) d t$

Paso 7

Dado que $3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \tan^{2} (t) d t$

Paso 8

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$3 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$3 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$3 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Paso 11

Como la derivada de $\tan (t)$ es $\sec^{2} (t)$ , la integral de $\sec^{2} (t)$ es $\tan (t)$ .

$3 (- t + C + \tan (t) + C)$

Paso 12

Simplifica.

$3 (- t + \tan (t)) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \tan (arcsec (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $arcsec (\frac{x}{3})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ . Por lo tanto, $\tan (arcsec (\frac{x}{3}))$ es $\sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1}) + C$

Paso 14.1.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Paso 14.1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{x}{3}$ y $b = 1$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{(\frac{x}{3} + 1) (\frac{x}{3} - 1)}) + C$

Paso 14.1.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{(\frac{x}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{x}{3} - 1)}) + C$

Paso 14.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} - 1)}) + C$

Paso 14.1.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}) + C$

Paso 14.1.7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}) + C$

Paso 14.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} \cdot \frac{x - 1 \cdot 3}{3}}) + C$

Paso 14.1.9

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} \cdot \frac{x - 3}{3}}) + C$

Paso 14.1.10

Multiplica $\frac{x + 3}{3}$ por $\frac{x - 3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{3 \cdot 3}}) + C$

Paso 14.1.11

Multiplica $3$ por $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{9}}) + C$

Paso 14.1.12

Reescribe $\frac{(x + 3) (x - 3)}{9}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 3) (x - 3))$ .

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Paso 14.1.12.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x + 3) (x - 3)$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{9}}) + C$

Paso 14.1.12.2

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $9$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{3^{2} \cdot 1}}) + C$

Paso 14.1.12.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 3) (x - 3))}) + C$

Paso 14.1.13

Retira los términos de abajo del radical.

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{1}{3} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + C$

Paso 14.1.14

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3}) + C$

Paso 14.2

Para escribir $- arcsec (\frac{x}{3})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3}) + C$

Paso 14.3

Combina $- arcsec (\frac{x}{3})$ y $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3}) + C$

Paso 14.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 \frac{- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3} + C$

Paso 14.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 14.5.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3} + C$

Paso 14.5.2

Reescribe la expresión.

$- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + C$

Paso 14.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 3 arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$- 3 arcsec (\frac{1}{3} x) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + C$