Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2} \frac{4 - \sqrt{18 - x}}{x - 2}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} 4 - \sqrt{18 - x}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} \sqrt{18 - x}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{4 - lim_{x \to 2} \sqrt{18 - x}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 2} 18 - x}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 2} 18 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa el límite de $18$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{4 - \sqrt{18 - lim_{x \to 2} x}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{4 - \sqrt{18 - 2}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.6.2.1.1

Resta $2$ de $18$ .

$\frac{4 - \sqrt{16}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.6.2.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{4 - \sqrt{4^{2}}}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.6.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.6.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.2.6.2.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Paso 1.1.3.1.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{4 - \sqrt{18 - x}}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{18 - x}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{18 - x}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - \sqrt{18 - x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{18 - x}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{18 - x}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{18 - x}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{18 - x}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{18 - x}$ como ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [{(18 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(18 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 18 - x$ .

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Paso 1.3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $18 - x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [18 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [18 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $18 - x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [18 - x])}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.4

Según la regla de la suma, la derivada de $18 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.5

Como $18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $18$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.11

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.4.11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.11.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.13

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.14

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(18 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.15

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - (\frac{{(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.16

Combina $\frac{{(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{{(18 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.17

Mueve $- 1$ a la izquierda de ${(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{- 1 \cdot {(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.18

Reescribe $- 1 {(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{- {(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.19

Mueve ${(18 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{- 1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.20

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 2} \frac{0 - - \frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.21

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 + 1 \frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.4.22

Multiplica $\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 + \frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.5

Suma $0$ y $\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Paso 1.3.8

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2 {(18 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 1.5

Reescribe ${(18 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{18 - x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{18 - x}} \cdot 1$

Paso 1.6

Multiplica $\frac{1}{2 \sqrt{18 - x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{18 - x}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{18 - x}}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \sqrt{18 - x}}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 2} \sqrt{18 - x}}$

Paso 2.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 18 - x}}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 18 - lim_{x \to 2} x}}$

Paso 2.6

Evalúa el límite de $18$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{18 - lim_{x \to 2} x}}$

Paso 2.7

Simplifica los términos.

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Paso 2.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{18 - 2}}$

Paso 2.7.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.7.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.7.2.1.1

Resta $2$ de $18$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{16}}$

Paso 2.7.2.1.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Paso 2.7.2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Paso 2.7.2.2

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 2.7.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4}$

Paso 2.7.2.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{8}$

Forma decimal:

$0.125$