Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 7 x + 2}{2 x^{2} + x - 10}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 7 x + 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 7 x + lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 7 x + lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 7 x + lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

Paso 1.1.2.4

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 2} x + 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

Paso 1.1.2.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 7 lim_{x \to 2} x + 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

Paso 1.1.2.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 7 \cdot 2 + 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

Paso 1.1.2.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.7.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3 \cdot 4 - 7 \cdot 2 + 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

Paso 1.1.2.7.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 - 7 \cdot 2 + 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

Paso 1.1.2.7.1.3

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$\frac{12 - 14 + 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

Paso 1.1.2.7.2

Resta $14$ de $12$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

Paso 1.1.2.7.3

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + x - 10}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 2 x^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 10}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa el límite de $10$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}$

Paso 1.1.3.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 10}$

Paso 1.1.3.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2^{2} + 2 - 1 \cdot 10}$

Paso 1.1.3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.6.1.1

Multiplica $2$ por $2^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.3.6.1.1.1

Multiplica $2$ por $2^{2}$ .

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Paso 1.1.3.6.1.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{0}{2^{1} \cdot 2^{2} + 2 - 1 \cdot 10}$

Paso 1.1.3.6.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{0}{2^{1 + 2} + 2 - 1 \cdot 10}$

Paso 1.1.3.6.1.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{0}{2^{3} + 2 - 1 \cdot 10}$

Paso 1.1.3.6.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{0}{8 + 2 - 1 \cdot 10}$

Paso 1.1.3.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$\frac{0}{8 + 2 - 10}$

Paso 1.1.3.6.2

Suma $8$ y $2$ .

$\frac{0}{10 - 10}$

Paso 1.1.3.6.3

Resta $10$ de $10$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.7

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 7 x + 2}{2 x^{2} + x - 10} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x + 2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 7 x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

Paso 1.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

Paso 1.3.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

Paso 1.3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7 + 0}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

Paso 1.3.6

Suma $6 x - 7$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7}{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + x - 10]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{2} + x - 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7}{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Paso 1.3.8.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7}{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}$

Paso 1.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7}{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}$

Paso 1.3.8.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7}{4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]}$

Paso 1.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7}{4 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 10]}$

Paso 1.3.10

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7}{4 x + 1 + 0}$

Paso 1.3.11

Suma $4 x + 1$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 7}{4 x + 1}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 6 x - 7}{lim_{x \to 2} 4 x + 1}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 6 x - lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} 4 x + 1}$

Paso 2.3

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} 4 x + 1}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{6 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 2} 4 x + 1}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{6 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 1}$

Paso 2.6

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{6 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 7}{4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}$

Paso 2.7

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{6 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 7}{4 lim_{x \to 2} x + 1}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{6 \cdot 2 - 1 \cdot 7}{4 lim_{x \to 2} x + 1}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{6 \cdot 2 - 1 \cdot 7}{4 \cdot 2 + 1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 - 1 \cdot 7}{4 \cdot 2 + 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{12 - 7}{4 \cdot 2 + 1}$

Paso 4.1.3

Resta $7$ de $12$ .

$\frac{5}{4 \cdot 2 + 1}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{5}{8 + 1}$

Paso 4.2.2

Suma $8$ y $1$ .

$\frac{5}{9}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{5}{9}$

Forma decimal:

$0.\overline{5}$