Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{x^{2} + 3 x + 4}{x^{3} + 1}}$

Paso 1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\sqrt{lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3 x + 4}{x^{3} + 1}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 3 x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + 1}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 3 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + 1}}$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 3 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + 1}}$

Paso 5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + 1}}$

Paso 6

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + 1}}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 1}}$

Paso 8

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 1}}$

Paso 9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 1}}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 1}}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} + 3 \cdot 2 + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 1}}$

Paso 10.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} + 3 \cdot 2 + 4}{2^{3} + 1}}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 2 + 4}{2^{3} + 1}}$

Paso 11.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{4 + 6 + 4}{2^{3} + 1}}$

Paso 11.3

Suma $4$ y $6$ .

$\sqrt{\frac{10 + 4}{2^{3} + 1}}$

Paso 11.4

Suma $10$ y $4$ .

$\sqrt{\frac{14}{2^{3} + 1}}$

Paso 11.5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\sqrt{\frac{14}{8 + 1}}$

Paso 11.6

Suma $8$ y $1$ .

$\sqrt{\frac{14}{9}}$

Paso 11.7

Reescribe $\sqrt{\frac{14}{9}}$ como $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{9}}$

Paso 11.8

Simplifica el denominador.

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Paso 11.8.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 11.8.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{14}}{3}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{14}}{3}$

Forma decimal:

$1.24721912 \dots$