Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - x^{2}}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1 \cdot 1}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 2.5

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{1 - 0}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{1 - 0}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0 - 1}{1 - 0}$

Paso 6.1.3

Resta $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{1 - 0}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{- 1}{1 + 0}$

Paso 6.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- 1}{1}$

Paso 6.3

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$