Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + 4 x - 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 4 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 4 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1^{2} + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.6.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.6.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{1 + 4 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{1 + 4 - 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.6.2

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.2.6.3

Resta $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.6

Suma $2 x + 4$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Paso 1.3.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.9

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{2 x + 0}$

Paso 1.3.10

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{2 x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $2 x + 4$ y $2$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x) + 4}{2 x}$

Paso 1.4.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x) + 2 \cdot 2}{2 x}$

Paso 1.4.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x + 2)}{2 x}$

Paso 1.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.4.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x + 2)}{2 (x)}$

Paso 1.4.4.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x + 2)}{2 x}$

Paso 1.4.4.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{x}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x + 2}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x + 2}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $1$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1 + 2}{lim_{x \to 1} x}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $1$ para $x$ .

$\frac{1 + 2}{1}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Divide $1 + 2$ por $1$ .

$1 + 2$

Paso 4.2

Suma $1$ y $2$ .

$3$