Cálculo Ejemplos

$y = \frac{3 x - 2}{2 x + 1}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 3 x - 2$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} (3 x - 2) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} (- 2)) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) (3 + 0) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.6.1

Suma $3$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x + 1) \cdot 3 - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $2 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot (2 x + 1) - (3 x - 2) \frac{d}{d x} (2 x + 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.8

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} (1))}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.12

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.12.1

Suma $2$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - (3 x - 2) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.2.12.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x + 1) - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x - 2)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.1

Combina los términos opuestos en $3 (2 x) + 3 \cdot 1 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Reordena los factores en los términos $3 (2 x)$ y $- 2 (3 x)$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (3 x) + 3 \cdot 1 - 2 \cdot (3 x) - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Resta $2 \cdot 3 x$ de $2 \cdot 3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 1 + 0 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.3

Suma $3 \cdot 1$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 1 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.2.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{3 - 2 \cdot - 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f' (x) = \frac{3 + 4}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3.3

Suma $3$ y $4$ .

$f' (x) = \frac{7}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{7}{{(2 x + 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}})$

Paso 2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ como ${({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1})$

Paso 2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(2 x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

Paso 2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{- 2})$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 2}$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 7 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$f'' (x) = 7 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 7 (- 2 {(2 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 2$ por $7$ .

$f'' (x) = - 14 ({(2 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 2.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 2.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 2.3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} (2 + 0)$

Paso 2.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$f'' (x) = - 14 {(2 x + 1)}^{- 3} \cdot 2$

Paso 2.3.7.2

Multiplica $2$ por $- 14$ .

$f'' (x) = - 28 {(2 x + 1)}^{- 3}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 28 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Combina $- 28$ y $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 28}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Paso 2.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{28}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1.1

Como $- 28$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{28}{{(2 x + 1)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 28 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Paso 3.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}}$ como ${({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$

Paso 3.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(2 x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {(2 x + 1)}^{3 \cdot - 1}$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - 28 \frac{d}{d x} {(2 x + 1)}^{- 3}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 3}$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 1$ .

$f''' (x) = - 28 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$f''' (x) = - 28 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$f''' (x) = - 28 (- 3 {(2 x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica $- 3$ por $- 28$ .

$f''' (x) = 84 ({(2 x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 3.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 3.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 3.3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} (2 + 0)$

Paso 3.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$f''' (x) = 84 {(2 x + 1)}^{- 4} \cdot 2$

Paso 3.3.7.2

Multiplica $2$ por $84$ .

$f''' (x) = 168 {(2 x + 1)}^{- 4}$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 168 (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}})$

Paso 3.4.2

Combina $168$ y $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{168}{{(2 x + 1)}^{4}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.1.1

Como $168$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{168}{{(2 x + 1)}^{4}}$ con respecto a $x$ es $168 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}})$

Paso 4.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{4}}$ como ${({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1})$

Paso 4.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(2 x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{4 \cdot - 1})$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 168 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{- 4})$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 4}$ y $g (x) = 2 x + 1$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x + 1$ .

$f^{4} (x) = 168 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = 168 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x + 1$ .

$f^{4} (x) = 168 (- 4 {(2 x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 4.3

Diferencia.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 4$ por $168$ .

$f^{4} (x) = - 672 ({(2 x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Paso 4.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 4.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 4.3.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Paso 4.3.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} (2 + 0)$

Paso 4.3.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.7.1

Suma $2$ y $0$ .

$f^{4} (x) = - 672 {(2 x + 1)}^{- 5} \cdot 2$

Paso 4.3.7.2

Multiplica $2$ por $- 672$ .

$f^{4} (x) = - 1344 {(2 x + 1)}^{- 5}$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 1344 \frac{1}{{(2 x + 1)}^{5}}$

Paso 4.4.2

Combina los términos.

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Paso 4.4.2.1

Combina $- 1344$ y $\frac{1}{{(2 x + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 1344}{{(2 x + 1)}^{5}}$

Paso 4.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = - \frac{1344}{{(2 x + 1)}^{5}}$