Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - x^{2} - x - 2}{2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - x - 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Paso 3

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Paso 5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 2 x^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Paso 7

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Paso 8

Mueve el exponente $3$ de $x^{3}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Paso 9

Evalúa el límite de $5 y^{2}$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + lim_{x \to 2} 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Paso 10

Evalúa el límite de $5 y$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - lim_{x \to 2} 6}$

Paso 11

Evalúa el límite de $6$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Paso 12

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 12.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Paso 12.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Paso 12.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Paso 12.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Paso 13

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{8 - 2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Paso 13.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 4 - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Paso 13.1.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{8 - 4 - 2 - 1 \cdot 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Paso 13.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{8 - 4 - 2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Paso 13.1.5

Resta $4$ de $8$ .

$\frac{4 - 2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Paso 13.1.6

Resta $2$ de $4$ .

$\frac{2 - 2}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Paso 13.1.7

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{2 \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Paso 13.2

Simplifica el denominador.

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Paso 13.2.1

Multiplica $2$ por $2^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.2.1.1

Multiplica $2$ por $2^{3}$ .

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Paso 13.2.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{0}{2^{1} \cdot 2^{3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Paso 13.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{0}{2^{1 + 3} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Paso 13.2.1.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{0}{2^{4} - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Paso 13.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{0}{16 - 5 y^{2} + 5 y - 1 \cdot 6}$

Paso 13.2.3

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$\frac{0}{16 - 5 y^{2} + 5 y - 6}$

Paso 13.2.4

Resta $6$ de $16$ .

$\frac{0}{- 5 y^{2} + 5 y + 10}$

Paso 13.2.5

Reescribe $- 5 y^{2} + 5 y + 10$ en forma factorizada.

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Paso 13.2.5.1

Factoriza $5$ de $- 5 y^{2} + 5 y + 10$ .

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Paso 13.2.5.1.1

Factoriza $5$ de $- 5 y^{2}$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 y + 10}$

Paso 13.2.5.1.2

Factoriza $5$ de $5 y$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 (y) + 10}$

Paso 13.2.5.1.3

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2}) + 5 y + 5 \cdot 2}$

Paso 13.2.5.1.4

Factoriza $5$ de $5 (- y^{2}) + 5 y$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2} + y) + 5 \cdot 2}$

Paso 13.2.5.1.5

Factoriza $5$ de $5 (- y^{2} + y) + 5 \cdot 2$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2} + y + 2)}$

Paso 13.2.5.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 13.2.5.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 2 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 13.2.5.2.1.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{0}{5 (- y^{2} + 1 y + 2)}$

Paso 13.2.5.2.1.2

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$\frac{0}{5 (- y^{2} + (- 1 + 2) y + 2)}$

Paso 13.2.5.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{0}{5 (- y^{2} - 1 y + 2 y + 2)}$

Paso 13.2.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 13.2.5.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{0}{5 ((- y^{2} - 1 y) + 2 y + 2)}$

Paso 13.2.5.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{0}{5 (y (- y - 1) - 2 (- y - 1))}$

Paso 13.2.5.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- y - 1$ .

$\frac{0}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

$\frac{0}{5 (- y - 1) (y - 2)}$

Paso 13.3

Cancela el factor común de $0$ y $5$ .

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Paso 13.3.1

Factoriza $5$ de $0$ .

$\frac{5 (0)}{5 (- y - 1) (y - 2)}$

Paso 13.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.3.2.1

Factoriza $5$ de $5 (- y - 1) (y - 2)$ .

$\frac{5 (0)}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

Paso 13.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 \cdot 0}{5 ((- y - 1) (y - 2))}$

Paso 13.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{0}{(- y - 1) (y - 2)}$

Paso 13.4

Divide $0$ por $(- y - 1) (y - 2)$ .

$0$