Cálculo Ejemplos

$lim_{y \to 4} \frac{y^{2} - 16}{\sqrt{y} - 2}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{y \to 4} y^{2} - 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $y$ se aproxima a $4$ .

$\frac{lim_{y \to 4} y^{2} - lim_{y \to 4} 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de $y^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{y \to 4} y)}^{2} - lim_{y \to 4} 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Paso 1.1.2.1.3

Evalúa el límite de $16$ que es constante cuando $y$ se acerca a $4$ .

$\frac{{(lim_{y \to 4} y)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $y$ mediante el ingreso de $4$ para $y$ .

$\frac{4^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $16$ de $16$ .

$\frac{0}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - 2}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $y$ se aproxima a $4$ .

$\frac{0}{lim_{y \to 4} \sqrt{y} - lim_{y \to 4} 2}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{y \to 4} y} - lim_{y \to 4} 2}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $y$ se acerca a $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{y \to 4} y} - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $y$ mediante el ingreso de $4$ para $y$ .

$\frac{0}{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Paso 1.1.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{y \to 4} \frac{y^{2} - 16}{\sqrt{y} - 2} = lim_{y \to 4} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 16]}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{y \to 4} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 16]}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - 16$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 16]$ .

$lim_{y \to 4} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 16]}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y + \frac{d}{d y} [- 16]}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Paso 1.3.4

Como $- 16$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 16$ con respecto a $y$ es $0$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y + 0}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Paso 1.3.5

Suma $2 y$ y $0$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y} - 2]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{y} - 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\sqrt{y}] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [\sqrt{y}] + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d y} [\sqrt{y}]$ .

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Paso 1.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Paso 1.3.7.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Paso 1.3.7.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Paso 1.3.7.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Paso 1.3.7.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.7.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Paso 1.3.7.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Paso 1.3.7.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d y} [- 2]}$

Paso 1.3.8

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} + 0}$

Paso 1.3.9

Simplifica.

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Paso 1.3.9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Paso 1.3.9.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.9.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Paso 1.3.9.2.2

Suma $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ y $0$ .

$lim_{y \to 4} \frac{2 y}{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{y \to 4} 2 y (2 y^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.5

Reescribe $y^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{y}$ .

$lim_{y \to 4} 2 y (2 \sqrt{y})$

Paso 1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$lim_{y \to 4} 4 y \sqrt{y}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $4$ fuera del límite porque es constante con respecto a $y$ .

$4 lim_{y \to 4} y \sqrt{y}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $y$ se aproxima a $4$ .

$4 lim_{y \to 4} y \cdot lim_{y \to 4} \sqrt{y}$

Paso 2.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$4 lim_{y \to 4} y \cdot \sqrt{lim_{y \to 4} y}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $4$ para todos los casos de $y$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $y$ mediante el ingreso de $4$ para $y$ .

$4 \cdot 4 \cdot \sqrt{lim_{y \to 4} y}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $y$ mediante el ingreso de $4$ para $y$ .

$4 \cdot 4 \cdot \sqrt{4}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$16 \cdot \sqrt{4}$

Paso 4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$16 \cdot \sqrt{2^{2}}$

Paso 4.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$16 \cdot 2$

Paso 4.4

Multiplica $16$ por $2$ .

$32$