Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} - 1}{2^{x} - 1}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{2^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{2^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{2^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{2^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2^{x} - 1}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el límite dentro del exponente.

$\frac{0}{2^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{0}{2^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{2^{0} - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} - 1}{2^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2^{2 x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2^{2 x}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = 2^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} \ln (2) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} \ln (2) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} \ln (2) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{2 x} \ln (2) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.5

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1} \cdot 2^{2 x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Paso 1.3.3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2) + 0}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Paso 1.3.5

Suma $2^{1 + 2 x} \ln (2)$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x} - 1]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $2^{x} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Paso 1.3.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2) + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $2^{x} \ln (2)$ y $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + 2 x} \ln (2)}{2^{x} \ln (2)}$

Paso 1.4

Reduce.

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común de $2^{1 + 2 x}$ y $2^{x}$ .

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Paso 1.4.1.1

Factoriza $2^{x}$ de $2^{1 + 2 x} \ln (2)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} (2^{1 + x} \ln (2))}{2^{x} \ln (2)}$

Paso 1.4.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.1.2.1

Factoriza $2^{x}$ de $2^{x} \ln (2)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} (2^{1 + x} \ln (2))}{2^{x} (\ln (2))}$

Paso 1.4.1.2.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{x} (2^{1 + x} \ln (2))}{2^{x} \ln (2)}$

Paso 1.4.1.2.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + x} \ln (2)}{\ln (2)}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{2^{1 + x} \ln (2)}{\ln (2)}$

Paso 1.4.2.2

Divide $2^{1 + x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 2^{1 + x}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$2^{lim_{x \to 0} 1 + x}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2^{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$2^{1 + lim_{x \to 0} x}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2^{1 + 0}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Suma $1$ y $0$ .

$2^{1}$

Paso 4.2

Evalúa el exponente.

$2$