Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} - \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{1}{x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x} - \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x} - \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 2) (x^{2} - 2 x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1}{x - 2}$ por $\frac{x^{2} - 2 x}{x^{2} - 2 x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)} - \frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{2 - x^{2} + 2 x}{x^{2} - 2 x}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)} - \frac{(2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{(x^{2} - 2 x) (x - 2)}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $(x^{2} - 2 x) (x - 2)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)} - \frac{(2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.4

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2 - x^{2} + 2 x \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (lim_{x \to 2} 2 - lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.6

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 2 x) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.7

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 2 x) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.9

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.10

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.2.11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 lim_{x \to 2} x - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2 - (2 - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.11.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2 - (2 - 2^{2} + 2 lim_{x \to 2} x) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.11.4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2 - (2 - 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.11.5

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 \cdot 2 - (2 - 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.12

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.12.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.12.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 2 - (2 - 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.12.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{4 - 4 - (2 - 2^{2} + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.12.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.12.1.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 - 4 - (2 - 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.12.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4 - (2 - 4 + 2 \cdot 2) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.12.1.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 - 4 - (2 - 4 + 4) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.12.1.4

Resta $4$ de $2$ .

$\frac{4 - 4 - (- 2 + 4) \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.12.1.5

Suma $- 2$ y $4$ .

$\frac{4 - 4 - 1 \cdot 2 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.12.1.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 - 4 - 2 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.12.1.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 - 4 - 2 \cdot (2 - 2)}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.12.1.8

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{4 - 4 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.12.1.9

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$\frac{4 - 4 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.12.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.2.12.3

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} (x - 2) (x^{2} - 2 x)}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 2.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2 \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Paso 2.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Paso 2.1.3.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Paso 2.1.3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 2 x)}$

Paso 2.1.3.5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 2 x)}$

Paso 2.1.3.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x)}$

Paso 2.1.3.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 2.1.3.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x)}$

Paso 2.1.3.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 2 lim_{x \to 2} x)}$

Paso 2.1.3.7.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 2 \cdot 2)}$

Paso 2.1.3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.3.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{(2 - 2) \cdot (2^{2} - 2 \cdot 2)}$

Paso 2.1.3.8.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (2^{2} - 2 \cdot 2)}$

Paso 2.1.3.8.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.8.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 2 \cdot 2)}$

Paso 2.1.3.8.3.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 4)}$

Paso 2.1.3.8.4

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Paso 2.1.3.8.5

Multiplica $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.8.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.3.9

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 2 x)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x - (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 2.3.4.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]$ .

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Paso 2.3.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- (2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [(2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - \frac{d}{d x} [(2 - x^{2} + 2 x) (x - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.5.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 2 - x^{2} + 2 x$ y $g (x) = x - 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.5.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.5.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.5.5

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [2 - x^{2} + 2 x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.5.6

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - x^{2} + 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.5.7

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.5.8

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.5.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.5.10

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 - (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.5.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x - 2) (0 - (2 x) + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.5.12

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - ((2 - x^{2} + 2 x) \cdot 1 + (x - 2) (0 - (2 x) + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.5.13

Multiplica $2 - x^{2} + 2 x$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - (2 - x^{2} + 2 x + (x - 2) (0 - (2 x) + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.5.14

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - (2 - x^{2} + 2 x + (x - 2) (0 - 2 x + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.5.15

Resta $2 x$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - (2 - x^{2} + 2 x + (x - 2) (- 2 x + 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.5.16

Multiplica $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - (2 - x^{2} + 2 x + (x - 2) (- 2 x + 2))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - ((x - 2) (- 2 x + 2))}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - ((x - 2) (- 2 x) + (x - 2) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x) - 2 (- 2 x) + (x - 2) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x) - 2 (- 2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 1 \cdot 2 - - x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.6.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 - - x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + 1 x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - (2 x) - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (x (- 2 x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (- 2 (x^{1} x)) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (- 2 (x^{1} x^{1})) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (- 2 x^{1 + 1}) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.8

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x - (- 2 x^{2}) - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.9

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - (- 2 (- 2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.10

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - (4 x) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.11

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.12

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - (2 \cdot x) - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.13

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x - (- 2 \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.14

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x - - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.15

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.16

Resta $2 x$ de $- 4 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + x^{2} - 2 x + 2 x^{2} - 6 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.17

Suma $x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + 3 x^{2} - 2 x - 6 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.18

Resta $6 x$ de $- 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 - 2 + 3 x^{2} - 8 x + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.19

Suma $- 2$ y $4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 2 + 3 x^{2} - 8 x + 2}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.20

Resta $8 x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 6 x - 2 + 3 x^{2} + 2}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.21

Suma $- 2$ y $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 6 x + 3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.6.22

Suma $- 6 x + 3 x^{2}$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 6 x + 3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.6.7

Reordena los términos.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 2 x)]}$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x - 2$ y $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x] + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.10

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2 \cdot 1) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.12

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Paso 2.3.13

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Paso 2.3.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Paso 2.3.15

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) (1 + 0)}$

Paso 2.3.16

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x) \cdot 1}$

Paso 2.3.17

Multiplica $x^{2} - 2 x$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x}$

Paso 2.3.18

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{(x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Paso 2.3.18.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Paso 2.3.18.3

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Paso 2.3.18.4

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.18.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Paso 2.3.18.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Paso 2.3.18.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Paso 2.3.18.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Paso 2.3.18.4.5

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 2 - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Paso 2.3.18.4.6

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot x - 2 \cdot - 2 + x^{2} - 2 x}$

Paso 2.3.18.4.7

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 4 x - 2 x + 4 + x^{2} - 2 x}$

Paso 2.3.18.4.8

Resta $2 x$ de $- 4 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{2 x^{2} - 6 x + 4 + x^{2} - 2 x}$

Paso 2.3.18.4.9

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - 6 x + 4 - 2 x}$

Paso 2.3.18.4.10

Resta $2 x$ de $- 6 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - 8 x + 4}$

Paso 3

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 3.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 3.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 6 x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Paso 3.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 3.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Paso 3.1.2.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Paso 3.1.2.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 6 x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Paso 3.1.2.4

Mueve el término $6$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Paso 3.1.2.5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Paso 3.1.2.5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 6 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Paso 3.1.2.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.2.6.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{3 \cdot 4 - 6 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Paso 3.1.2.6.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{12 - 6 \cdot 2}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Paso 3.1.2.6.1.3

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Paso 3.1.2.6.2

Resta $12$ de $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 8 x + 4}$

Paso 3.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 3.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 4}$

Paso 3.1.3.2

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 4}$

Paso 3.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 4}$

Paso 3.1.3.4

Mueve el término $8$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}$

Paso 3.1.3.5

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 4}$

Paso 3.1.3.6

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.6.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 4}$

Paso 3.1.3.6.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 4}$

Paso 3.1.3.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.3.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.3.7.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 4}$

Paso 3.1.3.7.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{0}{12 - 8 \cdot 2 + 4}$

Paso 3.1.3.7.1.3

Multiplica $- 8$ por $2$ .

$\frac{0}{12 - 16 + 4}$

Paso 3.1.3.7.2

Resta $16$ de $12$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Paso 3.1.3.7.3

Suma $- 4$ y $4$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.7.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.3.8

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 3.2

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 6 x}{3 x^{2} - 8 x + 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Paso 3.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Paso 3.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Paso 3.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Paso 3.3.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Paso 3.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 3.3.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Paso 3.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Paso 3.3.4.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 8 x + 4]}$

Paso 3.3.5

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} - 8 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Paso 3.3.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.6.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Paso 3.3.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Paso 3.3.6.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Paso 3.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Paso 3.3.7.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Paso 3.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Paso 3.3.7.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8 + \frac{d}{d x} [4]}$

Paso 3.3.8

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8 + 0}$

Paso 3.3.9

Suma $6 x - 8$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{6 x - 6}{6 x - 8}$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $6 x - 6$ y $6 x - 8$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x) - 6}{6 x - 8}$

Paso 3.4.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x) + 2 (- 3)}{6 x - 8}$

Paso 3.4.3

Factoriza $2$ de $2 (3 x) + 2 (- 3)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{6 x - 8}$

Paso 3.4.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.4.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (3 x) - 8}$

Paso 3.4.4.2

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (3 x) + 2 (- 4)}$

Paso 3.4.4.3

Factoriza $2$ de $2 (3 x) + 2 (- 4)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (3 x - 4)}$

Paso 3.4.4.4

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 2} \frac{2 (3 x - 3)}{2 (3 x - 4)}$

Paso 3.4.4.5

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 2} \frac{3 x - 3}{3 x - 4}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x - 3}{lim_{x \to 2} 3 x - 4}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 3}{lim_{x \to 2} 3 x - 4}$

Paso 4.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3}{lim_{x \to 2} 3 x - 4}$

Paso 4.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 2} 3 x - 4}$

Paso 4.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 2} 3 x - lim_{x \to 2} 4}$

Paso 4.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}{3 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}$

Paso 4.7

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3}{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Paso 5

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 5.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 3}{3 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}$

Paso 5.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{6 - 3}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Paso 6.1.3

Resta $3$ de $6$ .

$\frac{3}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{3}{6 - 1 \cdot 4}$

Paso 6.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{3}{6 - 4}$

Paso 6.2.3

Resta $4$ de $6$ .

$\frac{3}{2}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{3}{2}$

Forma decimal:

$1.5$