Cálculo Ejemplos

$y = 5 x^{3}$ , $x = 1$ , $x = 3$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$5 x^{3} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $5 x^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $5 x^{3} = 0$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.2.1.1

Divide cada término en $5 x^{3} = 0$ por $5$ .

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{0}{5}$

Paso 1.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{0}{5}$

Paso 1.2.1.2.1.2

Divide $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{5}$

Paso 1.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.1.3.1

Divide $0$ por $5$ .

$x^{3} = 0$

Paso 1.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 1.2.3

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 1.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 1.3

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 0)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{3} 5 x^{3} d x - \int_{1}^{3} 0 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $1$ y $3$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{1}^{3} 5 x^{3} - (0) d x$

Paso 3.2

Resta $0$ de $5 x^{3}$ .

$\int_{1}^{3} 5 x^{3} d x$

Paso 3.3

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{1}^{3} x^{3} d x$

Paso 3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{3})$

Paso 3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.5.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{3})$

Paso 3.5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $3$ y en $1$ .

$5 ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 3.5.2.2

Simplifica.

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Paso 3.5.2.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$5 (\frac{81}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Paso 3.5.2.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$5 (\frac{81}{4} - \frac{1}{4})$

Paso 3.5.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 \frac{81 - 1}{4}$

Paso 3.5.2.2.4

Resta $1$ de $81$ .

$5 (\frac{80}{4})$

Paso 3.5.2.2.5

Cancela el factor común de $80$ y $4$ .

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Paso 3.5.2.2.5.1

Factoriza $4$ de $80$ .

$5 \frac{4 \cdot 20}{4}$

Paso 3.5.2.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.2.5.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$5 \frac{4 \cdot 20}{4 (1)}$

Paso 3.5.2.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$5 \frac{4 \cdot 20}{4 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{20}{1})$

Paso 3.5.2.2.5.2.4

Divide $20$ por $1$ .

$5 \cdot 20$

Paso 3.5.2.2.6

Multiplica $5$ por $20$ .

$100$

Paso 4