Cálculo Ejemplos

$y = - 4 \sin (x)$ , $y = \sin (2 x)$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$- 4 \sin (x) = \sin (2 x)$

Paso 1.2

Resuelve $- 4 \sin (x) = \sin (2 x)$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Resta $\sin (2 x)$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 \sin (x) - \sin (2 x) = 0$

Paso 1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$- 4 \sin (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $2 \sin (x)$ de $- 4 \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Factoriza $2 \sin (x)$ de $- 4 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 2 - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Paso 1.2.3.1.2

Factoriza $2 \sin (x)$ de $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 2 + 2 \sin (x) (- 1 \cos (x)) = 0$

Paso 1.2.3.1.3

Factoriza $2 \sin (x)$ de $2 \sin (x) \cdot - 2 + 2 \sin (x) (- 1 \cos (x))$ .

$2 \sin (x) (- 2 - 1 \cos (x)) = 0$

Paso 1.2.3.2

Reescribe $- 1 \cos (x)$ como $- \cos (x)$ .

$2 \sin (x) (- 2 - \cos (x)) = 0$

Paso 1.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 - \cos (x) = 0 + y = \sin (2 x)$

Paso 1.2.5

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.5.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.5.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 1.2.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.5.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 1.2.5.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 1.2.5.2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 1.2.5.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.5.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 1.2.5.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 1.2.5.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 1.2.5.2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.6

Establece $- 2 - \cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $- 2 - \cos (x)$ igual a $0$ .

$- 2 - \cos (x) = 0$

Paso 1.2.6.2

Resuelve $- 2 - \cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.6.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$- \cos (x) = 2$

Paso 1.2.6.2.2

Divide cada término en $- \cos (x) = 2$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.6.2.2.1

Divide cada término en $- \cos (x) = 2$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Paso 1.2.6.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.6.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{2}{- 1}$

Paso 1.2.6.2.2.2.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{2}{- 1}$

Paso 1.2.6.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.6.2.2.3.1

Divide $2$ por $- 1$ .

$\cos (x) = - 2$

Paso 1.2.6.2.3

El rango del coseno es $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $- 2$ no está dentro de este rango, no hay solución.

No $s o l u t i o n + y = \sin (2 x)$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 \sin (x) (- 2 - \cos (x)) = 0$ verdadera.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.8

Consolida las respuestas.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = π n$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $π n$ por $x$ .

$y = \sin (2 (π n))$

Paso 1.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = \sin (2 π n)$

Paso 1.4

Enumera todas las soluciones.

$y = \sin (2 π n), x = π n$

Paso 2

El área entre las curvas dadas es no acotada.

Área no acotada

Paso 3