Cálculo Ejemplos

$y = 2 x^{3}$ , $x = 1$ , $x = 6$ , $n = 5$

Paso 1

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{6} 2 x^{3} d x - \int_{1}^{6} 5 d x$

Paso 2

Integra para obtener el área entre $1$ y $6$ .

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Paso 2.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{1}^{6} 2 x^{3} - (5) d x$

Paso 2.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\int_{1}^{6} 2 x^{3} - 5 d x$

Paso 2.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{6} 2 x^{3} d x + \int_{1}^{6} - 5 d x$

Paso 2.4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{1}^{6} x^{3} d x + \int_{1}^{6} - 5 d x$

Paso 2.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - 5 d x$

Paso 2.6

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{6}) + \int_{1}^{6} - 5 d x$

Paso 2.7

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{6}) + - 5 x]_{1}^{6}$

Paso 2.8

Sustituye y simplifica.

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Paso 2.8.1

Evalúa $\frac{x^{4}}{4}$ en $6$ y en $1$ .

$2 ((\frac{6^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + - 5 x]_{1}^{6}$

Paso 2.8.2

Evalúa $- 5 x$ en $6$ y en $1$ .

$2 (\frac{6^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3

Simplifica.

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Paso 2.8.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $4$ .

$2 (\frac{1296}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.2

Cancela el factor común de $1296$ y $4$ .

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Paso 2.8.3.2.1

Factoriza $4$ de $1296$ .

$2 (\frac{4 \cdot 324}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.8.3.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$2 (\frac{4 \cdot 324}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{4 \cdot 324}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{324}{1} - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.2.2.4

Divide $324$ por $1$ .

$2 (324 - \frac{1^{4}}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 (324 - \frac{1}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.4

Para escribir $324$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2 (324 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.5

Combina $324$ y $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{324 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \frac{324 \cdot 4 - 1}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.3.7.1

Multiplica $324$ por $4$ .

$2 \frac{1296 - 1}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.7.2

Resta $1$ de $1296$ .

$2 (\frac{1295}{4}) - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.8

Combina $2$ y $\frac{1295}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 1295}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.9

Multiplica $2$ por $1295$ .

$\frac{2590}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.10

Cancela el factor común de $2590$ y $4$ .

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Paso 2.8.3.10.1

Factoriza $2$ de $2590$ .

$\frac{2 (1295)}{4} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.8.3.10.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1295}{2 \cdot 2} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1295}{2 \cdot 2} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1295}{2} - 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.11

Multiplica $- 5$ por $6$ .

$\frac{1295}{2} - 30 + 5 \cdot 1$

Paso 2.8.3.12

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1295}{2} - 30 + 5$

Paso 2.8.3.13

Suma $- 30$ y $5$ .

$\frac{1295}{2} - 25$

Paso 2.8.3.14

Para escribir $- 25$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1295}{2} - 25 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.8.3.15

Combina $- 25$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1295}{2} + \frac{- 25 \cdot 2}{2}$

Paso 2.8.3.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1295 - 25 \cdot 2}{2}$

Paso 2.8.3.17

Simplifica el numerador.

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Paso 2.8.3.17.1

Multiplica $- 25$ por $2$ .

$\frac{1295 - 50}{2}$

Paso 2.8.3.17.2

Resta $50$ de $1295$ .

$\frac{1245}{2}$

Paso 3