Cálculo Ejemplos

$y = 2 x^{2} - 5 x + 5$ , $y = x^{2} + 7 x - 15$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$2 x^{2} - 5 x + 5 = x^{2} + 7 x - 15$

Paso 1.2

Resuelve $2 x^{2} - 5 x + 5 = x^{2} + 7 x - 15$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 5 x + 5 - x^{2} = 7 x - 15$

Paso 1.2.1.2

Resta $7 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 5 x + 5 - x^{2} - 7 x = - 15$

Paso 1.2.1.3

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 5 x + 5 - 7 x = - 15$

Paso 1.2.1.4

Resta $7 x$ de $- 5 x$ .

$x^{2} - 12 x + 5 = - 15$

Paso 1.2.2

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 12 x + 5 + 15 = 0$

Paso 1.2.3

Suma $5$ y $15$ .

$x^{2} - 12 x + 20 = 0$

Paso 1.2.4

Factoriza $x^{2} - 12 x + 20$ con el método AC.

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Paso 1.2.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $20$ y cuya suma es $- 12$ .

$- 10, - 2 + y = x^{2} + 7 x - 15$

Paso 1.2.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 10) (x - 2) = 0$

Paso 1.2.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x - 2 = 0 + y = x^{2} + 7 x - 15$

Paso 1.2.6

Establece $x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece $x - 10$ igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Paso 1.2.6.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 1.2.7

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.7.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.7.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 10) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 10, 2$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 10$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $10$ por $x$ .

$y = {(10)}^{2} + 7 (10) - 15$

Paso 1.3.2

Sustituye $10$ por $x$ en $y = {(10)}^{2} + 7 (10) - 15$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 10^{2} + 7 (10) - 15$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $10^{2} + 7 (10) - 15$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.2.1.1

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$y = 100 + 7 (10) - 15$

Paso 1.3.2.2.1.2

Multiplica $7$ por $10$ .

$y = 100 + 70 - 15$

Paso 1.3.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.3.2.2.2.1

Suma $100$ y $70$ .

$y = 170 - 15$

Paso 1.3.2.2.2.2

Resta $15$ de $170$ .

$y = 155$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 2$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = {(2)}^{2} + 7 (2) - 15$

Paso 1.4.2

Sustituye $2$ por $x$ en $y = {(2)}^{2} + 7 (2) - 15$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2^{2} + 7 (2) - 15$

Paso 1.4.2.2

Simplifica $2^{2} + 7 (2) - 15$ .

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = 4 + 7 (2) - 15$

Paso 1.4.2.2.1.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$y = 4 + 14 - 15$

Paso 1.4.2.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 1.4.2.2.2.1

Suma $4$ y $14$ .

$y = 18 - 15$

Paso 1.4.2.2.2.2

Resta $15$ de $18$ .

$y = 3$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(10, 155)$

$(2, 3)$

$(10, 155)$

$(2, 3)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{2}^{10} x^{2} + 7 x - 15 d x - \int_{2}^{10} 2 x^{2} - 5 x + 5 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $2$ y $10$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{2}^{10} x^{2} + 7 x - 15 - (2 x^{2} - 5 x + 5) d x$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 7 x - 15 - (2 x^{2}) - (- 5 x) - 1 \cdot 5$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 5$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} + 5 x - 1 \cdot 5$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} + 5 x - 5$

$\int_{2}^{10} x^{2} + 7 x - 15 - 2 x^{2} + 5 x - 5 d x$

Paso 3.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 3.3.1

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- x^{2} + 7 x - 15 + 5 x - 5$

Paso 3.3.2

Suma $7 x$ y $5 x$ .

$- x^{2} + 12 x - 15 - 5$

Paso 3.3.3

Resta $5$ de $- 15$ .

$- x^{2} + 12 x - 20$

$\int_{2}^{10} - x^{2} + 12 x - 20 d x$

Paso 3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{2}^{10} - x^{2} d x + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Paso 3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{2}^{10} x^{2} d x + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Paso 3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Paso 3.7

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} 12 x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Paso 3.8

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 \int_{2}^{10} x d x + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Paso 3.9

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Paso 3.10

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{10}) + \int_{2}^{10} - 20 d x$

Paso 3.11

Aplica la regla de la constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{10}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{10}) + - 20 x]_{2}^{10}$

Paso 3.12

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.12.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $10$ y en $2$ .

$- ((\frac{10^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{10}) + - 20 x]_{2}^{10}$

Paso 3.12.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $10$ y en $2$ .

$- (\frac{10^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + - 20 x]_{2}^{10}$

Paso 3.12.3

Evalúa $- 20 x$ en $10$ y en $2$ .

$- (\frac{10^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4

Simplifica.

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Paso 3.12.4.1

Eleva $10$ a la potencia de $3$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3}) + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{1000 - 8}{3} + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.4

Resta $8$ de $1000$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{10^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.5

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{100}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.6

Cancela el factor común de $100$ y $2$ .

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Paso 3.12.4.6.1

Factoriza $2$ de $100$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 50}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.12.4.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 50}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.6.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{2 \cdot 50}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.6.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{992}{3} + 12 (\frac{50}{1} - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.6.2.4

Divide $50$ por $1$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2^{2}}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{4}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.8

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.12.4.8.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.12.4.8.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.8.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.8.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - \frac{2}{1}) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.8.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - 1 \cdot 2) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.9

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{992}{3} + 12 (50 - 2) + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.10

Resta $2$ de $50$ .

$- \frac{992}{3} + 12 \cdot 48 + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.11

Multiplica $12$ por $48$ .

$- \frac{992}{3} + 576 + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.12

Para escribir $576$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{992}{3} + 576 \cdot \frac{3}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.13

Combina $576$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{992}{3} + \frac{576 \cdot 3}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 992 + 576 \cdot 3}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.15

Simplifica el numerador.

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Paso 3.12.4.15.1

Multiplica $576$ por $3$ .

$\frac{- 992 + 1728}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.15.2

Suma $- 992$ y $1728$ .

$\frac{736}{3} + (- 20 \cdot 10) + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.16

Multiplica $- 20$ por $10$ .

$\frac{736}{3} - 200 + 20 \cdot 2$

Paso 3.12.4.17

Multiplica $20$ por $2$ .

$\frac{736}{3} - 200 + 40$

Paso 3.12.4.18

Suma $- 200$ y $40$ .

$\frac{736}{3} - 160$

Paso 3.12.4.19

Para escribir $- 160$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{736}{3} - 160 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.12.4.20

Combina $- 160$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{736}{3} + \frac{- 160 \cdot 3}{3}$

Paso 3.12.4.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{736 - 160 \cdot 3}{3}$

Paso 3.12.4.22

Simplifica el numerador.

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Paso 3.12.4.22.1

Multiplica $- 160$ por $3$ .

$\frac{736 - 480}{3}$

Paso 3.12.4.22.2

Resta $480$ de $736$ .

$\frac{256}{3}$

Paso 4