Cálculo Ejemplos

$y = \ln (x)$ , $y = x^{2} - 2$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\ln (x) = x^{2} - 2$

Paso 1.2

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx 0.13793482, 1.56446225 + y = x^{2} - 2$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0.13793482$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $0.13793482$ por $x$ .

$y = {(0.13793482)}^{2} - 2$

Paso 1.3.2

Sustituye $0.13793482$ por $x$ en $y = {(0.13793482)}^{2} - 2$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = {0.13793482}^{2} - 2$

Paso 1.3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = {(0.13793482)}^{2} - 2$

Paso 1.3.2.3

Simplifica ${(0.13793482)}^{2} - 2$ .

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Paso 1.3.2.3.1

Eleva $0.13793482$ a la potencia de $2$ .

$y = 0.01902601 - 2$

Paso 1.3.2.3.2

Resta $2$ de $0.01902601$ .

$y = - 1.98097398$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 1.56446225$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $1.56446225$ por $x$ .

$y = {(1.56446225)}^{2} - 2$

Paso 1.4.2

Sustituye $1.56446225$ por $x$ en $y = {(1.56446225)}^{2} - 2$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = {1.56446225}^{2} - 2$

Paso 1.4.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = {(1.56446225)}^{2} - 2$

Paso 1.4.2.3

Simplifica ${(1.56446225)}^{2} - 2$ .

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Paso 1.4.2.3.1

Eleva $1.56446225$ a la potencia de $2$ .

$y = 2.44754216 - 2$

Paso 1.4.2.3.2

Resta $2$ de $2.44754216$ .

$y = 0.44754216$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0.13793482, - 1.98097398)$

$(1.56446225, 0.44754216)$

$(0.13793482, - 1.98097398)$

$(1.56446225, 0.44754216)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) d x - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x^{2} - 2 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0.13793482$ y $1.56446225$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) - (x^{2} - 2) d x$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (x) - x^{2} - - 2$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$\ln (x) - x^{2} + 2$

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) - x^{2} + 2 d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0.13793482}^{1.56446225} \ln (x) d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Paso 3.4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x \frac{1}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} \frac{x}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} \frac{x}{x} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Paso 3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - \int_{0.13793482}^{1.56446225} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Paso 3.6

Aplica la regla de la constante.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} - x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Paso 3.7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - \int_{0.13793482}^{1.56446225} x^{2} d x + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Paso 3.8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Paso 3.9

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + \int_{0.13793482}^{1.56446225} 2 d x$

Paso 3.10

Aplica la regla de la constante.

$\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225}) + 2 x]_{0.13793482}^{1.56446225}$

Paso 3.11

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.11.1

Combina $\ln (x) x]_{0.13793482}^{1.56446225}$ y $2 x]_{0.13793482}^{1.56446225}$ .

$\ln (x) x + 2 x]_{0.13793482}^{1.56446225} - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Paso 3.11.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.11.2.1

Evalúa $\ln (x) x + 2 x$ en $1.56446225$ y en $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - (x]_{0.13793482}^{1.56446225}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Paso 3.11.2.2

Evalúa $x$ en $1.56446225$ y en $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0.13793482}^{1.56446225})$

Paso 3.11.2.3

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $1.56446225$ y en $0.13793482$ .

$(\ln (1.56446225) \cdot 1.56446225 + 2 \cdot 1.56446225) - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4

Simplifica.

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Paso 3.11.2.4.1

Multiplica $\ln (1.56446225)$ por $1.56446225$ .

$0.70016281 + 2 \cdot 1.56446225 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.2

Multiplica $2$ por $1.56446225$ .

$0.70016281 + 3.12892451 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.3

Suma $0.70016281$ y $3.12892451$ .

$3.82908733 - (\ln (0.13793482) \cdot 0.13793482 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.4

Multiplica $\ln (0.13793482)$ por $0.13793482$ .

$3.82908733 - (- 0.2732453 + 2 \cdot 0.13793482) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.5

Multiplica $2$ por $0.13793482$ .

$3.82908733 - (- 0.2732453 + 0.27586965) - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.6

Suma $- 0.2732453$ y $0.27586965$ .

$3.82908733 - 1 \cdot 0.00262435 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.7

Multiplica $- 1$ por $0.00262435$ .

$3.82908733 - 0.00262435 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.8

Resta $0.00262435$ de $3.82908733$ .

$3.82646298 - ((1.56446225) - 0.13793482) - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.9

Resta $0.13793482$ de $1.56446225$ .

$3.82646298 - 1 \cdot 1.42652743 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.10

Multiplica $- 1$ por $1.42652743$ .

$3.82646298 - 1.42652743 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.11

Resta $1.42652743$ de $3.82646298$ .

$2.39993555 - ((\frac{{1.56446225}^{3}}{3}) - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.12

Eleva $1.56446225$ a la potencia de $3$ .

$2.39993555 - (\frac{3.82908733}{3} - \frac{{0.13793482}^{3}}{3})$

Paso 3.11.2.4.13

Eleva $0.13793482$ a la potencia de $3$ .

$2.39993555 - (\frac{3.82908733}{3} - \frac{0.00262435}{3})$

Paso 3.11.2.4.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2.39993555 - \frac{3.82908733 - 0.00262435}{3}$

Paso 3.11.2.4.15

Resta $0.00262435$ de $3.82908733$ .

$2.39993555 - \frac{3.82646298}{3}$

Paso 3.11.2.4.16

Para escribir $2.39993555$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2.39993555 \cdot \frac{3}{3} - \frac{3.82646298}{3}$

Paso 3.11.2.4.17

Combina $2.39993555$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2.39993555 \cdot 3}{3} - \frac{3.82646298}{3}$

Paso 3.11.2.4.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2.39993555 \cdot 3 - 3.82646298}{3}$

Paso 3.11.2.4.19

Multiplica $2.39993555$ por $3$ .

$\frac{7.19980666 - 3.82646298}{3}$

Paso 3.11.2.4.20

Resta $3.82646298$ de $7.19980666$ .

$\frac{3.37334367}{3}$

Paso 3.12

Divide $3.37334367$ por $3$ .

$1.12444789$

Paso 4