Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} + x$ , $x = 6$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{2} + x = 0$

Paso 1.2

Resuelve $x^{2} + x = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} + x$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + x = 0$

Paso 1.2.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x \cdot x + x = 0$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

Paso 1.2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$x (x + 1) = 0$

Paso 1.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0 + y = 0$

Paso 1.2.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.4

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.4.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 1.2.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 1$

Paso 1.3

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 0)$

$(- 1, 0)$

$(0, 0)$

$(- 1, 0)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 0 d x - \int_{- 1}^{0} x^{2} + x d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $- 1$ y $0$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{- 1}^{0} 0 - (x^{2} + x) d x$

Paso 3.2

Resta $x^{2} + x$ de $0$ .

$\int_{- 1}^{0} - (x^{2} + x) d x$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{- 1}^{0} - x^{2} - x d x$

Paso 3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{- 1}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Paso 3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{- 1}^{0} x^{2} d x + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Paso 3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Paso 3.7

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) + \int_{- 1}^{0} - x d x$

Paso 3.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - \int_{- 1}^{0} x d x$

Paso 3.9

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{0})$

Paso 3.10

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.10.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Paso 3.10.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.10.2.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $0$ y en $- 1$ .

$- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{0})$

Paso 3.10.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $0$ y en $- 1$ .

$- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3

Simplifica.

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Paso 3.10.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- (\frac{0}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.2

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 3.10.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.10.2.3.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.2.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- (0 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- (0 - \frac{- 1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- (0 - - \frac{1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- (0 + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.6

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- (0 + \frac{1}{3}) - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.7

Suma $0$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{0}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.9

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 3.10.2.3.9.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.10.2.3.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{3} - (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{3} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.9.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} - (0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Paso 3.10.2.3.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1}{3} - (0 - \frac{1}{2})$

Paso 3.10.2.3.11

Resta $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{3} - - \frac{1}{2}$

Paso 3.10.2.3.12

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{2})$

Paso 3.10.2.3.13

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Paso 3.10.2.3.14

Para escribir $- \frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 3.10.2.3.15

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.10.2.3.16

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.10.2.3.16.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.10.2.3.16.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.10.2.3.16.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Paso 3.10.2.3.16.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Paso 3.10.2.3.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 + 3}{6}$

Paso 3.10.2.3.18

Suma $- 2$ y $3$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 4

$A r e a = \int_{0}^{6} x^{2} + x d x - \int_{0}^{6} 0 d x$

Paso 5

Integra para obtener el área entre $0$ y $6$ .

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Paso 5.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{6} x^{2} + x - (0) d x$

Paso 5.2

Resta $0$ de $x^{2} + x$ .

$\int_{0}^{6} x^{2} + x d x$

Paso 5.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{6} x^{2} d x + \int_{0}^{6} x d x$

Paso 5.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \int_{0}^{6} x d x$

Paso 5.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Paso 5.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.6.1

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{6}$ y $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{6}$

Paso 5.6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.6.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ en $6$ y en $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2}) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2

Simplifica.

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Paso 5.6.2.2.1

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $216$ .

$\frac{216}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.3

Cancela el factor común de $216$ y $3$ .

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Paso 5.6.2.2.3.1

Factoriza $3$ de $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.2.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{72}{1} + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.3.2.4

Divide $72$ por $1$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.4

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$72 + \frac{1}{2} \cdot 36 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $36$ .

$72 + \frac{36}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.6

Cancela el factor común de $36$ y $2$ .

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Paso 5.6.2.2.6.1

Factoriza $2$ de $36$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.6.2.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$72 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$72 + \frac{18}{1} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.6.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$72 + 18 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.7

Suma $72$ y $18$ .

$90 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$90 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.9

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$90 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2})$

Paso 5.6.2.2.10

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$90 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Paso 5.6.2.2.11

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$90 - (0 + 0)$

Paso 5.6.2.2.12

Suma $0$ y $0$ .

$90 - 0$

Paso 5.6.2.2.13

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$90 + 0$

Paso 5.6.2.2.14

Suma $90$ y $0$ .

$90$

Paso 6

Suma las áreas $\frac{1}{6} + 90$ .

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Paso 6.1

Para escribir $90$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} + 90 \cdot \frac{6}{6}$

Paso 6.2

Combina $90$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} + \frac{90 \cdot 6}{6}$

Paso 6.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 90 \cdot 6}{6}$

Paso 6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1

Multiplica $90$ por $6$ .

$\frac{1 + 540}{6}$

Paso 6.4.2

Suma $1$ y $540$ .

$\frac{541}{6}$

Paso 7