Cálculo Ejemplos

$y = \cos (11 x)$ , $y = 0$ , $x = \frac{π}{22}$ , $x = \frac{π}{11}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\cos (11 x) = 0$

Paso 1.2

Resuelve $\cos (11 x) = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$11 x = \arccos (0)$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$11 x = \frac{π}{2}$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $11 x = \frac{π}{2}$ por $11$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $11 x = \frac{π}{2}$ por $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{11}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

Paso 1.2.3.3.2

Multiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

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Paso 1.2.3.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 11}$

Paso 1.2.3.3.2.2

Multiplica $2$ por $11$ .

$x = \frac{π}{22}$

Paso 1.2.4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$11 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.5

Resuelve $x$

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Paso 1.2.5.1

Simplifica.

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Paso 1.2.5.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$11 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.5.1.2

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$11 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.5.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$11 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 1.2.5.1.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$11 x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 1.2.5.1.5

Resta $π$ de $4 π$ .

$11 x = \frac{3 π}{2}$

Paso 1.2.5.2

Divide cada término en $11 x = \frac{3 π}{2}$ por $11$ y simplifica.

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Paso 1.2.5.2.1

Divide cada término en $11 x = \frac{3 π}{2}$ por $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Paso 1.2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.5.2.2.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 1.2.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{11 x}{11} = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Paso 1.2.5.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{11}$

Paso 1.2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$

Paso 1.2.5.2.3.2

Multiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{11}$ .

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Paso 1.2.5.2.3.2.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{1}{11}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 11}$

Paso 1.2.5.2.3.2.2

Multiplica $2$ por $11$ .

$x = \frac{3 π}{22}$

Paso 1.2.6

Obtén el período de $\cos (11 x)$ .

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Paso 1.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.6.2

Reemplaza $b$ con $11$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 11 |}$

Paso 1.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $11$ es $11$ .

$\frac{2 π}{11}$

Paso 1.2.7

El período de la función $\cos (11 x)$ es $\frac{2 π}{11}$ , por lo que los valores se repetirán cada $\frac{2 π}{11}$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{22} + \frac{2 π n}{11}, \frac{3 π}{22} + \frac{2 π n}{11}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.8

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Sustituye $\frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

Enumera todas las soluciones.

$y = 0, x = \frac{π}{22} + \frac{π n}{11}$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 d x - \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $\frac{π}{22}$ y $\frac{π}{11}$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} 0 - (\cos (11 x)) d x$

Paso 3.2

Resta $\cos (11 x)$ de $0$ .

$\int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} - \cos (11 x) d x$

Paso 3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{\frac{π}{22}}^{\frac{π}{11}} \cos (11 x) d x$

Paso 3.4

Sea $u = 11 x$ . Entonces $d u = 11 d x$ , de modo que $\frac{1}{11} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.4.1

Deja $u = 11 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.4.1.1

Diferencia $11 x$ .

$\frac{d}{d x} [11 x]$

Paso 3.4.1.2

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $11 x$ con respecto a $x$ es $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$11 \cdot 1$

Paso 3.4.1.4

Multiplica $11$ por $1$ .

$11$

Paso 3.4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 11 x$ .

$u_{lower} = 11 \frac{π}{22}$

Paso 3.4.3

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $11$ de $22$ .

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 (2)}$

Paso 3.4.3.2

Cancela el factor común.

$u_{lower} = 11 \frac{π}{11 \cdot 2}$

Paso 3.4.3.3

Reescribe la expresión.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

Paso 3.4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 11 x$ .

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

Paso 3.4.5

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 3.4.5.1

Cancela el factor común.

$u_{upper} = 11 \frac{π}{11}$

Paso 3.4.5.2

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = π$

Paso 3.4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{2}$

$u_{upper} = π$

Paso 3.4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) \frac{1}{11} d u$

Paso 3.5

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{11}$ .

$- \int_{\frac{π}{2}}^{π} \frac{\cos (u)}{11} d u$

Paso 3.6

Dado que $\frac{1}{11}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{11}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{11} \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cos (u) d u)$

Paso 3.7

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{11} \sin (u)]_{\frac{π}{2}}^{π}$

Paso 3.8

Evalúa $\sin (u)$ en $π$ y en $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 3.9

Simplifica.

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Paso 3.9.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1 \cdot 1)$

Paso 3.9.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{11} (\sin (π) - 1)$

Paso 3.10

Simplifica.

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Paso 3.10.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.10.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$- \frac{1}{11} (\sin (0) - 1)$

Paso 3.10.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- \frac{1}{11} (0 - 1)$

Paso 3.10.2

Resta $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{11} \cdot - 1$

Paso 3.10.3

Multiplica $- \frac{1}{11} \cdot - 1$ .

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Paso 3.10.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{11})$

Paso 3.10.3.2

Multiplica $\frac{1}{11}$ por $1$ .

$\frac{1}{11}$

Paso 4