Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} - 5 x + 6$ , $y = x - 2$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$

Paso 1.2

Resuelve $x^{2} - 5 x + 6 = x - 2$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 5 x + 6 - x = - 2$

Paso 1.2.1.2

Resta $x$ de $- 5 x$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = - 2$

Paso 1.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 6 x + 6 + 2 = 0$

Paso 1.2.3

Suma $6$ y $2$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Paso 1.2.4

Factoriza $x^{2} - 6 x + 8$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $8$ y cuya suma es $- 6$ .

$- 4, - 2 + y = x - 2$

Paso 1.2.4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Paso 1.2.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0 + y = x - 2$

Paso 1.2.6

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 1.2.6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 1.2.7

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.7.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.2.7.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 4, 2$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$y = (4) - 2$

Paso 1.3.2

Sustituye $4$ por $x$ en $y = (4) - 2$ , y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 4 - 2$

Paso 1.3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = (4) - 2$

Paso 1.3.2.3

Resta $2$ de $4$ .

$y = 2$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = (2) - 2$

Paso 1.4.2

Sustituye $2$ por $x$ en $y = (2) - 2$ , y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 - 2$

Paso 1.4.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = (2) - 2$

Paso 1.4.2.3

Resta $2$ de $2$ .

$y = 0$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(4, 2)$

$(2, 0)$

$(4, 2)$

$(2, 0)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{2}^{4} x - 2 d x - \int_{2}^{4} x^{2} - 5 x + 6 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{2}^{4} x - 2 - (x^{2} - 5 x + 6) d x$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 2 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6$

Paso 3.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$x - 2 - x^{2} + 5 x - 6$

$\int_{2}^{4} x - 2 - x^{2} + 5 x - 6 d x$

Paso 3.3

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Suma $x$ y $5 x$ .

$6 x - 2 - x^{2} - 6$

Paso 3.3.2

Resta $6$ de $- 2$ .

$6 x - x^{2} - 8$

$\int_{2}^{4} 6 x - x^{2} - 8 d x$

Paso 3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{2}^{4} 6 x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Paso 3.5

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Paso 3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Paso 3.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Paso 3.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - \int_{2}^{4} x^{2} d x + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Paso 3.9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Paso 3.10

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} - 8 d x$

Paso 3.11

Aplica la regla de la constante.

$6 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Paso 3.12

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $4$ y en $2$ .

$6 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{4}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Paso 3.12.2

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $4$ y en $2$ .

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - 8 x]_{2}^{4}$

Paso 3.12.3

Evalúa $- 8 x$ en $4$ y en $2$ .

$6 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.4.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$6 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.2

Cancela el factor común de $16$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.4.2.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.2.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.4.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$6 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.2.2.4

Divide $8$ por $1$ .

$6 (8 - \frac{2^{2}}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$6 (8 - \frac{4}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.4.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$6 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$6 (8 - \frac{2}{1}) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$6 (8 - 1 \cdot 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$6 (8 - 2) - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.6

Resta $2$ de $8$ .

$6 \cdot 6 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.7

Multiplica $6$ por $6$ .

$36 - (\frac{4^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.8

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.9

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$36 - (\frac{64}{3} - \frac{8}{3}) + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$36 - \frac{64 - 8}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.11

Resta $8$ de $64$ .

$36 - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.12

Para escribir $36$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$36 \cdot \frac{3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.13

Combina $36$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{36 \cdot 3}{3} - \frac{56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{36 \cdot 3 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.15

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.4.15.1

Multiplica $36$ por $3$ .

$\frac{108 - 56}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.15.2

Resta $56$ de $108$ .

$\frac{52}{3} + (- 8 \cdot 4) + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.16

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$\frac{52}{3} - 32 + 8 \cdot 2$

Paso 3.12.4.17

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{52}{3} - 32 + 16$

Paso 3.12.4.18

Suma $- 32$ y $16$ .

$\frac{52}{3} - 16$

Paso 3.12.4.19

Para escribir $- 16$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.12.4.20

Combina $- 16$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{52}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

Paso 3.12.4.21

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{52 - 16 \cdot 3}{3}$

Paso 3.12.4.22

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.12.4.22.1

Multiplica $- 16$ por $3$ .

$\frac{52 - 48}{3}$

Paso 3.12.4.22.2

Resta $48$ de $52$ .

$\frac{4}{3}$

Paso 4